高中数学教与学

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1、第3期高中数学教与学○学习指导○中学数学解题中的函数与方程思想韦承军(广西容县高中,537500)在中学数学中函数与方程是相互联系、增函数.不可分割的,涉及这两个概念的问题可以相101∵h(3)=1>0,h=-<0,327互转化,有时需要将函数问题转化为方程问h(4)=5>0,题来研究,有时又需要将方程问题转化为函1010数问题来研究.例如,方程f(x)=0的根就是∴h(x)=0在区间3,,,4内分33函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.别有惟一的实数根,而在区间(0,3),(4,一、讨论方程f(x)=0在某个区间上根的+

2、∞)没有实数根.个数所以存在惟一的自然数m=3使得方程这类题一般需要构造函数y=f(x),转化37f(x)+=0在区间(m,m+1)有且只有两为函数图象与x轴的交点个数来研究.x个不相等的实数根.例1已知f(x)是二次函数,不等式二、求角的取值范围f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间例2&ABC中,AB=1,BC=2,求角C[-1,4]上的最大值是12.的取值范围.(1)求f(x)的解析式;x<1+2,解设AC=x,则37(2)是否存在实数m,使得f(x)+=0x>2-1,x所以1

3、两个不相等的实22根据余弦定理,得x-4xcosC+4=1,数根?若存在,求出m的范围;若不存在,说明即x2-4xcosC+3=0.理由.这说明上述方程在(1,3)内有根.22解(1)f(x)=2x-10x(略).令f(x)=x-4xcosC+3.37(1)若方程在(1,3)内有一根,则有(2)方程f(x)+=0等价于方程xf(1)·f(3)<0,322x-10x+37=0.(2)若方程在(1,3)内有两根,则有32设h(x)=2x-10x+37(x≠0),则f(1)>0,2h′(x)=6x-20x=2x(3x-10).f(3)>

4、0,当x∈(-∞,0)时,h′(x)>0,h(x)是Δ≥0,增函数;1<2cosC<3,4(1-cosC)>0,10当x∈0,时,h′(x)<0,h(x)是减312(1-cosC)>0,函数,即(-4cosC)2-12≥0,1013当x∈,+∞时,h′(x)>0,h(x)是

5、F分别为AB、SC的中点.∵0

6、,(1)当y=1时,x=n-1;111当y≠1时,Δ=1-4(y-1)(y-n)≥0,E1,,0,F0,,1,DF=0,,1,DE2222即4y-4(n+1)y+4n-1≤0.11=1,,0,AE=0,,0,AF=∵an≤y≤bn,222∴an、bn是方程4y-4(n+1)y+4n-11-1,,1.2=0的两根,设P∈EF,则1∴anbn=(4n-1),4DP=xDE+(1-x)DF111∴cn=4anbn+1=n.=x1,,0+(1-x)0,,1222(2)略.1=x,,1-x,四、与解析几何相结合2例4已知A(-1,-1),B

7、(1,3),C(2,DP2=x2+1+(1-x)241),求点C到直线AB的距离.2133解以CA=(-3,-2),CB=(-1,2)=2x-+≥.244为基底,设P为直线AB上的任一点,则由CP13=xCA+(1-x)CB=(-2x-1,2-4x),则∴当x=时,

8、DP

9、min=,此时有2222

10、CP

11、=(2x+1)+(2-4x)111DP⊥EF,DP=,,.216452223=20x-+≥.1055同理,设Q∈EF,则有评注当

12、CP

13、取得最小值时,有CP⊥AQ=λAE+(1-λ)AFAB,此时

14、CP

15、就是点C到直线AB的距离.

16、此(下转第6页)题也可以采用点到直线的距离公式来求解.·8·高中数学教与学2008年的判定定理.探究的问题应该是未知的,有兴趣的,具4.结合例题,借题发挥,进行知识拓展和有一定的神秘性.总结探究问题的第一层次是要求激发学生学通过例题的解决,提升得到