江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.2大题考法—直线与圆讲义

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1、第二讲大题考法——直线与圆题型(一)直线与圆的位置关系　　　　　　　　　　　　主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程.[典例感悟][例1]　如图，在Rt△ABC中，∠A为直角，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在直线AC上，BC中点为M(2,0)．(1)求BC边所在直线的方程；(2)若动圆P过点N(－2,0)，且与Rt△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆方程．[解]　(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，AC与AB垂直，所以直线AC的斜率为－3.故AC边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2

2、＝0.设C为(x0，－3x0－2)，因为M为BC中点，所以B(4－x0,3x0＋2)．点B代入x－3y－6＝0，解得x0＝－，所以C.所以BC所在直线方程为x＋7y－2＝0.(2)因为Rt△ABC斜边中点为M(2,0)，所以M为Rt△ABC外接圆的圆心．又AM＝2，从而Rt△ABC外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.设P(a，b)，因为动圆P过点N，所以该圆的半径r＝，圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由于⊙P与⊙M相交，则公共弦所在直线m的方程为(4－2a)x－2by＋a2＋b2－r2＋4＝0.因为公共弦长为4，⊙M半径为2，所以M(2,0)到m的距离d＝2，即＝2，

3、化简得b2＝3a2－4a，所以r＝＝.当a＝0时，r最小值为2，此时b＝0，圆的方程为x2＋y2＝4.[方法技巧]解决有关直线与圆位置关系的问题的方法(1)直线与圆的方程求解通常用的待定系数法，由于直线方程和圆的方程均有不同形式，故要根据所给几何条件灵活使用方程．(2)对直线与直线的位置关系的相关问题要用好直线基本量之一斜率，要注意优先考虑斜率不存在的情况．(3)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系在处理时几何法优先，有时也需要用代数法即解方程组．[演练冲关]　已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．(1)求证：△OAB的

4、面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．解：(1)证明：因为圆C过原点O，所以OC2＝t2＋.设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，所以S△OAB＝OA·OB＝××

5、2t

6、＝4，即△OAB的面积为定值．(2)因为OM＝ON，CM＝CN，所以OC垂直平分线段MN.因为kMN＝－2，所以kOC＝.所以＝t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标

7、为(－2，－1)，OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，所以t＝－2不符合题意，舍去．所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.题型(二)圆中的定点、定值问题　　主要考查动圆过定点的问题其本质是含参方程恒有解，定值问题是引入参数，再利用其满足的约束条件消去参数得定值.[典例感悟][例2]　已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y＝0.(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．[解]

8、　(1)设所求直线方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0.因为直线与圆C相切，所以＝3，解得b＝±3.所以所求直线方程为2x＋y±3＝0.(2)法一：假设存在这样的点B(t,0)．当点P为圆C与x轴的左交点(－3,0)时，＝；当点P为圆C与x轴的右交点(3,0)时，＝.依题意，＝，解得t＝－或t＝－5(舍去)．下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为一常数．设P(x，y)，则y2＝9－x2，所以＝＝＝＝.从而＝为常数．法二：假设存在这样的点B(t,0)，使得为常数λ，则PB2＝λ2PA2，所以(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将y2＝9－x2代入，得x2－2xt＋t

9、2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)，即2(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0对x∈[－3,3]恒成立，所以解得或(舍去)．故存在点B对于圆C上任一点P，都有为常数.[方法技巧]关于解决圆中的定点、定值问题的方法(1)与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点．解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程．(2)与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明．[演练冲关]1．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2