高效解题的两个角度“一题多解”与“多题一解”

《高效解题的两个角度“一题多解”与“多题一解”》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、万方数据56数学教学研究第33卷第8期2014年8月高效解题的两个角度：“一题多解”与“多题一解”朱贤良，王平定(安徽省枞阳县会宫中学246740)学习离不开解题，理科尤为如此．高中3年，各种训练题、模拟题层出不穷、铺天盖地，同学们终日昏天暗地、疲于奔命，这成为许多同学提升应试能力的不二法门．但是题海无边，何处是岸?许多同学“题海挣扎”却不能换来“盖世神功”、“笑傲江湖，，．．⋯·如何解题才能提高学习效率?真的能事半而功倍吗?笔者结合教学实践，从“一题多解”与“多题一解"两个角度谈谈高效解题习惯的培养，希望能给题海沉浮的同学们以启迪．

2、1一题多解，融众多知识点于一题例1(2013年高考新课标全国(工)卷理15文16)设当z=口时，函数厂(z)=sinx--2cosz取得最大值，则COS口——．本题作为高考中的一道小题，题面简约，背景清晰，但入口较宽、解法灵活，可以多方面、多角度、多层次地进行思考．解析1本题的题面朴素，是考生非常熟悉的y----asinz+bcosz型的三角函数最值问题，通性通法手到擒来．，(z)=sinx--2cosz=幅哮sinz_砉cosz，=居sin(x一9)，其中sin9=三IF"，COS9=去．4b由题意，当x----8时，函数弛)取得最

3、大值，即俨旷2走升号Q∈乃，即归及井号+9，故c。s8----cos(2忌7c+号+9)-------sin922√5==一一==：一—-——一污5‘解析2由题意，可得厂(曰)一sin口一2cos口=√5，问题转化为由条件sinO--2cos口一幅求COS口值．结合同角三角函数基本关系式，可得方程组fsin8--2cos口一污，‘【sin2口+coS2口一1，消去sin口，即得(√5COS一+2)2--0，即c。s口=一4量5一一箪b．解析3题设条件“当z=口时，函数厂(z)---sinx--2cosX取得最大值"包含两个重要信息：一

4、是，(日)=sin8--2cos口=√5；二是x=8为函数厂(z)的一个最大值点，也是极大值点，即有／(口)=COS疗+2sin8=0．所以有方程组』sin8-2cos口一朽，lCOS口+2sin8---0，解得COS8_--一下z45．解析4由题意，，(口)sin8--2cosa=届，换个角度来看，这表明定点(sin口，COS口)在直线z一2y=√5上，而点(sin口，COS口)又在单位圆z2+y2--1上，即点(sin口，COS口)为直线x-2y=幅与单位圆z2+y2=1的公共点．由直线与圆的位置关系知，直线z一2y一√5与单位圆

5、z2+y2=1相切，所以点(sin0，COS口)即为直线工一2y一√5与单位圆z2+3，2=1的切点．如图l所示，由tx2y●√5，_-．-．rtt七)L,4Ly一一Zz的纵坐标y一一半，即COS口=一攀．万方数据第33卷第8期2014年8月数学教学研究57J厂、、，。L力沙3／笫／，弋涮工＼i⋯一X反1，2)图1图2解析5如图2，构造平面向量O万一(sinz，COSz)，0B一(1，-2)，则f(x)=sinz一2cosz=荫·蕊一I蕊1．I商f．COs<蔬，蕊>=压COS(疏，葫>．显然，当荫与菌的方向一致时，厂(z)取得最大值，

6、记此时点A的位置为A。(sin0，COS口)．结合三角函数的定义，可得点A的纵坐标为cosO=Si眨鼢一IOBI--2--一警．解析6我们知道sin2z+COS2z一1，求函数厂(z)一sinx--2cos．27的最值还可以借助柯西不等式．由柯西不等式，严(z)=(sinx--2cosz)2≤(1+4)(sin2z+COS2z)一5，当且仅当晏兰。一百1，即sinz=一4了5，c。sz一攀或sinz一譬，cosz=一竽时取得等号．显然sinz=年，cosz：一竽时，函数，(z)取得最大值，即COS口一一竿．评注上述6种思路分别源自三角

7、函数的最值、三角恒等变换(给值求值)、导数、直线与圆的位置关系、平面向量、柯西不等式等不同角度．通过一道试题的求解，将多个章节不同知识点融于一题．正所谓：解一题，通几册书．反之，倘若我们只是为解题而解题，高效从哪来?2多题同解。以一题而观通法例2(2008年全国I卷理19文21)已知函数厂(z)一z3+ax2+X+1(口∈R)在区间(一鲁，一去)内是减函数，求n的取值范围．解析根据函数单调性与导数的关系，一般地，可导函数，(z)在(n，6)内递增(减)的充要条件是：(1)对一切,27∈(口，6)，有／(z)≥o(／(z)≤o)；(2)

8、在(n，6)内的任何子区间上／(z)不恒为0．因此解决此类问题的通法是将“函数在给定区间上单调”问题转化为“不等式恒成立”问题来求解．本题中，“函数，(z)在区间(一号，一告)内是减函数”等价于“不等式厂(z)=3≯+2