有趣的自然对数

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1、第30卷第2期大学数学Vo1．3O，№．22014年4月COLLEGEMATHEMATICSApr．2014有趣的自然对数周继振，许峰(安徽理工大学理学院数学系，安徽淮南232001)[摘要]介绍了对数发展的历史，给出了自然对数与积分、素数分布和调和级数的关系[关键词]自然对数；e；变上限函数；素数分布；调和级数[中图分类号]013[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2014)02—0075—041对数的历史和自然对数现在的高中数学教课书，都是先介绍指数函数，然后以指数函数的反函数形式来介绍对数函数．但历史的次序恰好相反，那就是先出现对数函数，然后以对数函数反函数的形式研究

2、指数函数．其中，自然对数的出现，与数学分析的发展密不可分．对数函数的基本思想萌芽于古希腊阿基米德时代，产生于16世纪，完善于18世纪．15和16世纪天文学的飞速发展需要对很多的数据进行乘、除、乘方和开方运算，繁难的运算使得科学家迫切需要找到一种简便的计算方法，对数的出现有了历史的需要．第一个对对数的产生做出了实质性贡献的是德国数学家史蒂非，他的发现为对数的产生奠定了基础．1617年，英国天文爱好者兼数学家纳皮尔出版了《奇妙的对数定理的说明书》，标志着对数理论的产生．与纳皮尔几乎同时独立发现对数的还有瑞士的一个钟表匠比尔吉，他用了8年时间编出了世界上最早的对数表，但他长期不发表它．直到1

3、620年，在开普勒的恳求下才发表出来，这时纳皮尔的对数已闻名全欧洲了．大名鼎鼎的牛顿后来也研究过对数．现在的对数记号是大数学家欧拉在1748年引入的，他首先开始了对指数函数做深入的研究．复变函数的建立，使得人们对对数有了彻底的了解．设a，z>0，以n为底的对数函数可表示为log。X．自然对数就是底n取e，其中e是一个超越无理数，约为2．71828．e可以通过对数列取极限得到，即e一(1+)或e一1+1+11+51+⋯．自然对数有一个专用记号：ln，其中l和n分别是log和natural的第一个字母．2自然对数与积分早在牛顿和莱布尼茨发现微积分基本定理前，数学家已经计算了很多函数的积分．

4、例如开普勒在天文研究中已得到IfsinOdO一1一COSX，卡瓦列里发现公式Ifdz”dx一，l，”是正整数．学过微积分的J0Joi十都知道，这个公式对所有的≠一1是成立的．当n一一1时，+1—0，从而该公式失效．我们期望从1／x的积分中引出一个有趣的函数，这个函数就是自然对数．这一现象是圣文森特的格雷果里在研究[收稿日期]2013—02—27[基金项目]安徽省教育厅教学研究重点项目(基于网络教学平台的公共数学课发展性评价机制)；安徽省精品资源共享课程(概率论与数理统计)76大学数学第30卷函数xy一1、z一1，z—z与坐标轴z所围面积时发现的．但当时并没有认识到对数和双曲线下面积之间

5、的确切关系，更没有认识到自然对数就是以e为底的对数．下面从微积分的角度来推导这个事实．积分的几何意义告诉我们，由曲线Y一1／z，z一1，z—z>0和z轴所围成的图形面积可以用积分F(z)一ld(1)J1t来表示．显然(1)是一个变上限函数，1／x的原函数是自然对数函数．为什么(1)式就是一个自然对数呢，我们需要证明它满足对数的主要性质：F(n)+F(，))一F(ab)．(2)下面来证明(2)式是成立的．根据变上限函数的导数公式可以得到”(z)一二．(3)下面令a>0，记W一厂(z)一甜，记G(z)一F(ax)一F(砌)．运用导数的复合求导法则可得G()一F(伽)-厂()，考虑到(3)式

6、和f(z)一＆可得G(z)一旦一．这就证明了F()和G()有相同的导数．根据拉格朗日中值定理可得F(z)和G()之间仅相差一个常数C，即G(z)一F(z)+C．为了求出常数c，只要令X一1．由定义(1)，可得F(1)一0，这是因为所定义的积分在一1处上、下限相等．故得到C===F(n)．所以对任何的z>0，可得F(ax)一F(口)+F()．(4)再次令．z—b，可得到公式(2)．特别地，令n—z，可依次得到1nx。一21nx，lnx。一31nx．]nx”一nlnx。上式说明，当的值递增时，lnx的值趋于无穷．另一方面，注意到对任意的，有0一In1一In(·丢)一ln+1n专．由此可得公

7、式1n一一一lnx．(5)最后，对任何的有理数r—P／q，这里P，q是两个互质的整数，容易得到qlnx一lnx一lnx一plnx．这就给出了lnx一rlnx．(6)注意到无理数可以用一列有理数来逼近且lnx是连续函数，故对任意的实数r，(6)式都是成立的．显然，lnl一0．因为lnx是的单调连续函数，当z增大时!nx趋于无穷．根据连续函数的介质定理，必然存在一个大于1的数，使得当取此值时lnx一1．按照欧拉的作法，这个数称为e．这样从方程Ine