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《自然数是否为素数的两个判定方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2010年第49卷第6期数学通报自然数是否为素数的两个判定方法王名利(北京化工大学附属中学100029)本文通过试验猜想论证的数学实践过设6n一1(61一1)(6j+l),则61!j+i一j程,发现素数的一个性质并引出检测自然数是否为素数的两个判定方法.经历计算袱300)及判断设n一6k+;(可以有多种写法),则6i!j+i一些较大数是否为素数的过程,初步体验命题在一j二6k十r.应用过程中的准确性优越性.这两个方法是否为,{ij一k,_∀二#.____,__~,.,_令}*泣,一;.则,∃+万一∀一O,方程有整数解一般化的方法并具有推广价值,还需要我
2、们在今后的实践中去验证.=>:,十4k是平方数.我在分析哥德巴赫猜想时,发现不小于6的由此我们得到以下结论:偶数的素分拆(两个素数的和)的两个素数,除3定理2(1)对于给定的数6n一1,若存在满以外其它的素数都是数列{6n一1}和数列{6n+1}足n一6k+r的正整数k,整数:(;2+4k是平方中的项.由此猜想并论证:每一个不小于5的奇数数),使~,得_({ij.∀一一k有_正__整数#,解_,则_.6n_一_1是_合∀数~.只能有61一1,或61+1或61+3(i)l)三种形式,气之一j~r而6i+3~3(21+1)是合数.因此我们得到素数的类似以上推导,可
3、得下面结论.一个性质.(2)对于给定的数6n+1,若存在满足n一6k每一个不小于5的素数都能写成6i一1或6i一正整数k,r(尸一4k是平方数),使得+1的形式(i)1).}ij一k,___.___~#,一__._._一∀~{.∀二(i(j)有正整数解,则6n+1是合数.合数与素数构成了不小于2的正整数的统一}i+j一:一∀∃,一一,,-,-!!,,!一,一__-体,因此,在探寻素数的性质时,我们应把有关合对于给定的数6n+1,若存在满足n=6k+;数的性质联系起来进行探究.阴#止_~整.致_左,,以,犷#一4龙,足#十~万_效山,_),便一得,_(}ij
4、_.一_k(之大于3且不是3的倍数的奇合数,它的因数(1十]二r只能是6i一1型数或6j+1型数,我们得到以下成j)有正整数解,则6n+1是合数.定理.(3)对于给定的数6n一l(或6n+1),若任取定理1(l)对于某个数6n一1,若存在正整数ij,满足相应条件的*,:,方程组}比万一一]一∀r(或}(忿j.∀十一j一∀r)都6n一1=(61一l)(6j+l),则6n一l是合数.无正整数解,则6n一l(或6n+1)是素数.否则,6n一1是素数.为以后叙述方便,对于n一6k+r,当方程组(2)对于某个数6n+1,若存在正整数ij,{ij一k,___,∀,___
5、_.一∀,(.∀二有正整数解时,记为n一i,j.因为,~6k满足11士j一;∃-一一一,,-一,,甲一,一,,6n+1=(61一1)(6j一1)或6n+1~(61+l)+r中的(k,r)组合太多,所以一般情况下我们不(6j+1),则6n十1是合数.否则,6n十1是素数.做知n求(i,j)的运算,而反过来应用二元运算定理l是显而易见的.然而,在应用中通过取i,j二n有一定的使用价值.遍正整数ij来寻找存在的正整数ij是不可能问题1设小于或等于x的素数的个数为的.看来,我们应考虑n与ij的内在联系.二(x),计算二(300)的值.48数学通报2010年第49卷
6、第6期解(l)2和3是素数,共2个.因为取遍正整数i是不可能做到的,所以我(2)300=6X50,所以6n一1型数有50个,i们应寻求正整数i的取值范围.∀j一n镇50._因为,j.)__∀,即#.蔚n一二亏i).∀,~推出,二∀镇,n竺节+1,所,,.以,,1设(61一1)(6j+1)(6火50一1,利用,./厂n+1门{汀一色及二一6#+!可得::[下%∀口一]一r1关1=6,l关2=11,1关3~16,1芳4=21,即∀取1,2,3,&,∋华刁中的某个数.Ll二1苦5=26,1关6=31,1关7=36,1关8=41,1关9=因此我们得到6n一1型数
7、是合数的必要条件46;2关1=13,2关2=24,2关3=35,2关4=46;3芳是#当,,i.遍~历_1∀成,i.蕊,厂}n气+二1(}的,,_整二∀数#,__时,,一存一在i.,使~得,#1=20,3关2=37;4芳1=27,4关2=50;5关1=34;~月~材J一~L7%砂~~一JJ一一∃~∃,6关1=41;7关1=48.,一昌是正整数.注意到1,8=6,l,1;9一2,4.合数的充分性显然成立.由此我得到以下重所以,6n一1型合数的个数9十(4一1)十2要结论.+2+1+(1一1)+l=18.定理3(l)6n一1型数是合数的充要条件是所以,
8、6n一1型
