实数的连分数展开及程序设计

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1、2012年2月重庆文理学院学报(自然科学版)Feb.，2012第31卷第1期JournalofChongqingUniversityofArtsandSciences(NaturalScienceEdition)Vol.31No.1实数的连分数展开及程序设计1，2何光(1．内江师范学院数学与信息科学学院，四川内江641100;2．四川省高等学校数值仿真重点实验室，四川内江641100)［摘要］运用数学软件实现了实数的连分数展开．首先介绍连分数的结构，并设计相应的程序，用以实现任一实数的连分数展开;然后分析连分数与渐进分数的关系，给出无理数e的渐进分数形式，并对渐进分数所蕴含的规律

2、进行演示．［关键词］连分数;渐进分数;程序［中图分类号］O156［文献标志码］A［文章编号］1673－8012(2012)01－0025－03的表达式称为连分数．其中a0，a1，a2，…，an称作1引言及准备知识部分商，可以是实数或复数．通常讨论简单连分连分数是初等数论中一个重要的课题．目前数，即指首项a0通常是整数，其它项a1，a2，…，an已有许多学者对连分数的理论和应用进行过研是正整数．若表达式中仅含有限项a1，a2，…，［1－3］究，其结论涉及了以下方面:方程的求解、an，这样的连分数称为有限简单连分数;否则，称［4］近似逼近、库仑散射问题、排队模型、机床齿轮为无限简单连

3、分数．的配换和矩形毛坯排样等．为方便表示，我们将数a的连分数记为在应用研究日趋火热的情况下，获得连分数111a=a0+…．展开的形式至关重要．1996年，关于大整数因子a1+a2++an［5］分解的连分数算法引起了人们的注意;接着，其中［6］［7］p袁进和沈剑华讨论了代数数的连分数展开111kαk=a0+…=［8］a+a++aq算法;随后黄顺发等人分析了有理数的连分数12kk展开的矩阵求解方法．但是，已有算法对于超越称为a的一个渐进分数．数的连分数展开未作详细的探讨;同时算法过程接着从连分数的定义入手，讨论实数的连分复杂且具有一定的局限性，不利于实际应用．数展开形式．本文首先结合

4、数学软件，设计适合于任一实2实数的连分数展开算法数(包括代数数和超越数)的连分数展开程序;然后，进一步分析连分数与渐进分数的关系，给对任一正实数a，可以考虑以下步骤进行展出渐进分数的程序设计，并验证渐进分数的一些开．重要性质．首先介绍连分数的一些相关概念．第1步:取a0=［a］，令x1=a－a0．如果定义1形如x1=0终止，此时a=a0;否则0＜x1＜1，记A1111a0+=，则a=a0+．1x1A1a1+a2+…第2步:对A1进行类似的操作，得到A1=a1…111…++(其中x2=A1－a1，A2=)．逐步类推，1A2x2an－1+an可得到正整数a1，a2，…，ak－1及Ak

5、，使得［收稿日期］2011－09－21［作者简介］何光(1981－)，男，重庆人，讲师，硕士，主要从事金融数学方面的研究．25111117，1，4，3，4，3，2，1，1，4，2，1，9，1，15，13，1，39，a=a0+…．(1)a1+a2++ak－1+Ak20，2，152，3，2，4，1，30，1，3，1，2，1，2，16，3，24，第3步:取ak=［Ak］，有0≤xk+1=Ak－ak1，9，1，172，3，1，1，1，1，27，1}．＜1．如果xk+1=0终止，此时(1)式即为a的有文献［7］中只展开到6位，这里展开的部分＞0，此时取A=1，商位数更多，结果更精确．限简单

6、连分数．否则xk+1k+1xk+1程序Ⅰ除了适合代数数以外，对于超越数同1则Ak=ak+，得到样适用．以无理数e为例加以说明．其前50位部Ak+1分商结果如下:11111a=a0+…．{2，1，2，1，1，4，1，1，6，1，1，8，1，1，10，1，1，a1+a2++ak－1+ak+Ak+112，1，1，14，1，1，16，1，1，18，1，1，20，1，1，22，1，如果a为无理数，第3步将无限进行下去，1，24，1，1，26，1，1，28，1，1，30，1，1，32，1，1，34}．可以给出渐进分数形式当然，在计算机硬件和软件允许的情况下，111a0+…理论上可以将任一实数

7、的连分数展开到任意位．a1+a2++ak作为a的近似值．下面给出相应的Mahtematica不过，在实际应用中，我们只需按照精度要求将程序，并以文献［6］和文献［7］中的两个代数数实数展开到有限位连分数即可，然后通过其渐进为例加以演示．分数加以逼近．接着，对渐进分数的一些重要性56质进行说明和演示．例1写出3+7槡2－槡3的连分数形式．56分析由于3+7槡2－槡3是无理数，只能得3实数的渐进分数及其性质到连分数的部分表示形式，考虑前100位部分商根据前面的算法思想，有理数的连分数