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《2020版高中数学第二章抛物线的几何性质（第2课时）抛物线的几何性质的应用学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时 抛物线的几何性质的应用学习目标 1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．知识点 直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系与公共点个数位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点2.直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，
2、直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．1．若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线必相切．( × )2．直线与抛物线相交弦的弦长公式是
3、AB
4、＝·
5、x1－x2
6、＝x1＋x2＋p.( × )3．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( √ )题型一 直线与抛物线的位置关系例1 已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？解 由方程
7、组消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．(1)若直线与抛物线有两个交点，则k2≠0且Δ>0，即k2≠0且16(1－k2)>0，解得k∈(－1,0)∪(0,1)．所以当k∈(－1,0)∪(0,1)时，直线l和抛物线C有两个交点．(2)若直线与抛物线有一个交点，则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0，解得k＝0或k＝±1.所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．(3)若直线与抛物线无交点，则k2≠0且Δ<0.解得k>1或k<－1.所以当k>1或k<－1
8、时，直线l和抛物线C无交点．反思感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．跟踪训练1 平面内一动点M(x，y)到定点F(0,1)和到定直线y＝－1的距离相等，设M的轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)在曲线C上找一点P，使得点P到直线y＝x－2的距离最短，求出P点的坐标；(3)设直线l：y＝x＋m，问当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？解 (1)x2＝4y.(2)设点P，点P到直线y＝x－2的距离为＝＝，当x0＝
9、2时，取得最小值，此时P(2,1)．(3)由得x2－4x－4m＝0，Δ＝42－4×(－4m)≥0，m≥－1.所以当m≥－1时，直线l和曲线C有交点．题型二 与弦长中点弦有关的问题例2 已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．(1)求抛物线E的方程；(2)求直线AB的方程．解 (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，所以＝1，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，①y＝4x2，②且x1＋x2＝4，y1＋y2
10、＝2.由②－①得，(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以＝2.所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.反思感悟 中点弦问题有两种解法：(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差，由k＝求斜率，再由点斜式求解．(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．跟踪训练2 已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所
11、在的直线方程及
12、P1P2
13、.解 方法一 由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y－1＝k(x－4)．由得ky2－6y－24k＋6＝0.当k＝0时，y＝1，显然不成立．当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.①设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，∴y1＋y2＝，y1y2＝.∵P1P2的中点为(4,1)，∴＝2，∴k＝3，适合①式．∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0，∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，∴
14、P1P2
15、＝＝＝.方法二 设P1(x1，y1)，P2(x2
16、，y2)．则y＝6x1，y＝6x2，∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2，∴＝＝3，∴所求直线的斜率k＝3，所求直线方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，∴
17、P1P2
18、＝＝·＝.题型三 抛物线性质的综合应用命题角度1 抛物线中的定点(定值)问题例3 已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)
