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1、2009年第4期中学数学月刊·35·三次函数在区间上的最值问题赵士元(江苏省苏州市苏苑高级中学215128)三次函数Y一衄。+bx十+d的图象和z).由于∈(专,4),故(2x—1),(4一z),(4一性质在高中数学教学中的地位越来越显著,与之z)均大于零.又(2x一1)+(4一)+(4一z)一相对应的三次函数最值的研究成为中学数学的一7,所以y一,()一2x3—17x。+4O一16一(2x大热点和难点.研究三次函数的最值问题一般用基本不等式法和导数法,下面分别对这两种方法-1)(4-z)(4-z)≤(舌)。一.作一介绍.1基本不等式法当且仅当2x一1—4一一4一,即X一
2、号利用三元基本不等式可以解决一些特殊的三∈(专,4)时,等号成立,故3,一,(z)的最大值为次函数的最值问题.我们知道:若口,b,c都是正实数,那么n。+b。+C。≥3abc.因此,此时一导.①若口,6,C的积为定值,即abc—m,则当且2导数法仅当口一b—c时,和n+b+C有最小值3m;用基本不等式法求解三次函数的最值问题,②若口,6,C的和为定值,即口+b+f一7l,则局限性比较大.对于更一般的三次函数可以利用当且仅当口一b—c时,积obc有最大值(号导数工具求解.若三次函数—ax。+。+口+d可以分解设三次函数Y一厂(z)=纰。+。+凹+d,成三个一次因式之积,即其
3、导函数为/)一3ax。+2+c,若判别式△Y一0.27。+。+凹+d一(plx+q1)(p2x+一4b一12ac≤0,则函数Y一,(z)一ax。+。qz)(p3x+q3).++在R上是单调的,它在区间[户,g]的值域若(1z+q1),(户2+q2),(3z+q3)在某一为[min{),,(q)),max{f(p),,(g))],因此,区间内恒正,它们的和为定值n,且在给定区间内它在区间,g]上有最大值max{p),,(g)),有存在一个z—Xo,使得Plz+ql—pzx+q2一P3z最小值min{f(p),,(口)).+q3,则当X—Xo时,函数Y一纰。+。+CX+若判别
4、式△一46。一12ac>0,则函数一()一纰。++口+d在R上有一个极大值d有最大值f詈)。;、,点X1和一个极小值点z2.当n>0时,Xlz2.下面以a>0为例,讨论y一区间内恒负,它们的和为定值,且在给定区间内厂(z)在区间[户,q]上的最值情况:存在一个X—zo,使得plx+ql=pzx+qz=P3若P5、P0,且6z一3nc>0)的最值情解一厂(z)=2x。一17+40x一16=况:(2x一1)(一4)(一4)一(2x一1)(4一z)(4一·36·中学数学月刊2009年第6、4期表1[,口]与1,X2函数Y=)在区间函数y一,()在区间函数Y=_厂()在区间的位置关系[,g]上的单调性[户,q]上的最大值[户,g]上的最小值,P<口≤l在区间[户,g]上单调递增g)厂(户)在[p,X]上单调递增P7、z。,口]上单调递增≤P
5、P0,且6z一3nc>0)的最值情解一厂(z)=2x。一17+40x一16=况:(2x一1)(一4)(一4)一(2x一1)(4一z)(4一·36·中学数学月刊2009年第6、4期表1[,口]与1,X2函数Y=)在区间函数y一,()在区间函数Y=_厂()在区间的位置关系[,g]上的单调性[户,q]上的最大值[户,g]上的最小值,P<口≤l在区间[户,g]上单调递增g)厂(户)在[p,X]上单调递增P7、z。,口]上单调递增≤P
5、P0,且6z一3nc>0)的最值情解一厂(z)=2x。一17+40x一16=况:(2x一1)(一4)(一4)一(2x一1)(4一z)(4一·36·中学数学月刊2009年第
6、4期表1[,口]与1,X2函数Y=)在区间函数y一,()在区间函数Y=_厂()在区间的位置关系[,g]上的单调性[户,q]上的最大值[户,g]上的最小值,P<口≤l在区间[户,g]上单调递增g)厂(户)在[p,X]上单调递增P7、z。,口]上单调递增≤P
7、z。,口]上单调递增≤P
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