三次函数在区间上的最值问题

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1、2009年第4期中学数学月刊·35·三次函数在区间上的最值问题赵士元(江苏省苏州市苏苑高级中学215128)三次函数Y一衄。+bx十+d的图象和z)．由于∈(专，4)，故(2x—1)，(4一z)，(4一性质在高中数学教学中的地位越来越显著，与之z)均大于零．又(2x一1)+(4一)+(4一z)一相对应的三次函数最值的研究成为中学数学的一7，所以y一，()一2x3—17x。+4O一16一(2x大热点和难点．研究三次函数的最值问题一般用基本不等式法和导数法，下面分别对这两种方法-1)(4-z)(4-z)≤(舌)。一．作一介绍．1基本不等式法当且仅当2x一1—4一一4一，即X一

2、号利用三元基本不等式可以解决一些特殊的三∈(专，4)时，等号成立，故3，一，(z)的最大值为次函数的最值问题．我们知道：若口，b，c都是正实数，那么n。+b。+C。≥3abc．因此，此时一导．①若口，6，C的积为定值，即abc—m，则当且2导数法仅当口一b—c时，和n+b+C有最小值3m；用基本不等式法求解三次函数的最值问题，②若口，6，C的和为定值，即口+b+f一7l，则局限性比较大．对于更一般的三次函数可以利用当且仅当口一b—c时，积obc有最大值(号导数工具求解．若三次函数—ax。+。+口+d可以分解设三次函数Y一厂(z)=纰。+。+凹+d，成三个一次因式之积，即其

3、导函数为／)一3ax。+2+c，若判别式△Y一0．27。+。+凹+d一(plx+q1)(p2x+一4b一12ac≤0，则函数Y一，(z)一ax。+。qz)(p3x+q3)．++在R上是单调的，它在区间[户，g]的值域若(1z+q1)，(户2+q2)，(3z+q3)在某一为[min{)，，(q))，max{f(p)，，(g))]，因此，区间内恒正，它们的和为定值n，且在给定区间内它在区间，g]上有最大值max{p)，，(g))，有存在一个z—Xo，使得Plz+ql—pzx+q2一P3z最小值min{f(p)，，(口))．+q3，则当X—Xo时，函数Y一纰。+。+CX+若判别

4、式△一46。一12ac>0，则函数一()一纰。++口+d在R上有一个极大值d有最大值f詈)。；、，点X1和一个极小值点z2．当n>0时，Xlz2．下面以a>0为例，讨论y一区间内恒负，它们的和为定值，且在给定区间内厂(z)在区间[户，q]上的最值情况：存在一个X—zo，使得plx+ql=pzx+qz=P3若P

5、P0，且6z一3nc>0)的最值情解一厂(z)=2x。一17+40x一16=况：(2x一1)(一4)(一4)一(2x一1)(4一z)(4一·36·中学数学月刊2009年第

6、4期表1[，口]与1，X2函数Y=)在区间函数y一，()在区间函数Y=_厂()在区间的位置关系[，g]上的单调性[户，q]上的最大值[户，g]上的最小值，P<口≤l在区间[户，g]上单调递增g)厂(户)在[p，X]上单调递增P

7、z。，口]上单调递增≤P