数学的实践与认识

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1、第32卷第6期数学的实践与认识Vol132No162002年11月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYNov.,2002一类迭代微分方程的解析解121李文荣,　郑穗生,　程利军(1.滨州师专,山东滨州　256604)(21台湾清华大学,台湾新竹　30043)l(n)(x[m](q))kL摘要:给出一类n阶迭代泛函微分方程x=a∏iizi的形如x(z)=Kz的解的存在性.i=1关键词:迭代微分方程;解析解1　引　　言　　在解决实际问题时,常常要遇到带偏差变元的微分方程.然而,当偏差变元依赖于状态变量时,相应的微分方程处理起来就十分困难.譬如,迭代泛函微分方程的研究直到近

2、年才有较大的进展.1965年,V.R.Petahov在[1]中给出了二阶迭代微分方程x″(t)=ax(x(t))的一类边值问题解的存在唯一性.1984年,E.Eder在[2]中讨论了一阶迭代微分方程x′(t)=x(x(t))的解析解的存在性,这个方程出现在具有延迟相互作用的带电粒子运动的问题中.1997年,SiJianguo等在[3]中给出了一阶迭代微分方程[m]x′(z)=x(z),z∈C(1)的局部解析解的存在性定理.1998年,李文荣又在[4]中讨论了二阶迭代微分方程m[j]x″(z)=∑pjx(z),z∈Cj=0满足初始条件局部解析解的存在性问题.日前,WenRongLi等在[5]中

3、又给出了n阶迭代微分方程(n)j[m]kx(z)=az(x(z))(2)L形如x(z)=Kz的幂函数解的存在性.在本文中,我们将考察更一般的n阶迭代微分方程l(n)[m]k(z)=ai(qix∏xiz),(3)i=1[m][0][1]其中x(z)表示未知的复变数复函数x(z)的m次迭代,即x(z)=z,x(z)=x(z),[k][k-1](n)x(z)=x(x(z)),k=2,⋯,m;x(z)表示x(z)的n阶导数.另外,设n,l和ki(i=1,⋯,l)都是正整数;mi(i=1,⋯,l)为非负整数,且0≤m1

4、01203227©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.6期李文荣等:一类迭代微分方程的解析解9952　主要结果受到求常系数线性常微分方程指数函数解的启发,我们来寻求方程(3)的形如Lx(z)=Kz(4)的幂函数形式解,其中K与L是待定的复常数.将(4)代入(3),得到L-nKL(L-1)⋯(L-n+1)zlllk(1+L+⋯+Lmi-1)mim-1mm∑i∑kiLk(1+L+⋯+Li)kLikLii=1i=1=aKiqii=aQ(L)Kz,∏izi=1lmkLi其中iQ(L)=∏qi.比较上式两边,便得i

5、=1lmki∑iL=L-n(5)i=1lm-1∑ki(1+L+⋯+Li)KL(L-1)⋯(L-i=1n+1)=aQ(L)K.(6)这样,由(5)与(6)确定K和L,并代入(4),就可得方程(3)的幂函数形式解.不言而喻,ml次方程(5)必存在ml个根.我们还能证明下面的引理1ml次方程(5)的根不可能是0,1,2,⋯,n-1.l••mi•事实上,若L=0,1,2,⋯,n-1是方程(5)的根,则有0≤∑kiL=L-n<0,这显然i=1是不可能的.当l=1时,不妨假设m1=m,k1=k,于是上面关于L的方程(5)就变为特殊形式mkL=L-n(7)其中m和k都是正整数,且m≥2.我们发现下面的断言

6、成立.引理2m次方程(7)没有重根.证　由代数知识(参看文献[6])知,一个多项式f(L)有重根的充分必要条件是结式mres(f(L),f′(L),L)=0.然而,关于f(L)=kL-L+n的结式k0⋯0-1n00⋯000k⋯00-1n0⋯00(m-1)行00⋯k0000⋯-1nres(f,f′,L)=km0⋯0-1000⋯000km⋯00-100⋯00m行00⋯0km000⋯0-1mm-1m-1m=(-1)k[(1-m)-kmn]≠0,故f不会有任何重根.证毕.我们要指出,当l>1,就不能保证ml次方程(5)没有重根.例如,当l=2,n=4,m1=1,k1=5,m2=2,k2=1时,方程(

7、5)就变为22L+5L=L-4或L+4L+4=0©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.996数　学　的　实　践　与　认　识32卷显然它有二重根L1,2=-2.现在,设L1,L2,⋯,L5是方程(5)互异的根,易见s≤ml,且Lj(j=1,2,⋯,s)都不等于0,1,2,⋯,n-1.将Lj(j=1,2,⋯,s)代入(6),可