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1、第19卷第5期机器人ROBOTVol.19,No.51997年9月Sept.,1997a0机械臂惯性矩阵的并行计算邹建奇尹朝万(吉林工业大学长春130025)(中国科学院沈阳自动化所沈阳110015)张京军陆佑方(吉林工业大学力学系长春130025)(中国科学院机器人学开放研究实验室沈阳)摘要本文在给出一种非递推形式的逆动力学计算公式的基础上,针对机械臂惯性矩阵的计算提出了一种面向O(n)个处理器的并行算法,并以PUMA560机器人的前3个臂为例进行了计算效率分析.关键词机械臂,惯性矩阵,并行算法,逆动力学,正动力
2、学1引言机械臂的惯性矩阵确定了作用在机械臂上的力与其加速度之间的关系,它在机械臂运动的控制和仿真中起着非常重要的作用.同时,惯性矩阵还可应用于碰撞问题的分析.为了提供机械臂动力学实时仿真的能力以及在一些基于模型或自适应控制策略中达到实[6]时的目的,必须研究惯性矩阵计算的高效算法.与逆动力学情况相同,在机械臂惯性矩阵和正动力学的串行算法中,最为有效的算法仍[1][2]然为递推公式.其中CompositeRigid-Body法和CompositeRigid-BodySpatialInertia法是目前机械臂惯性矩阵计
3、算中最为有效的两种串行算法.为了进一步提高惯性矩阵的计算效率,发展并行算法是最具潜力的一种途径.基于[3][4,5]CompositeRigid-Body方法,Lee和Chang、Amin-Javaheri和Orin分别研究了惯性矩阵的并行计算.其中Lee和Chang提出了一种在计算惯性矩阵对角元素时采用齐次递推公式的递推倍增法,在计算非对角元素时采用ModifiedRow-Sweep算法的并行算法.在文[4]中,对以VLSI为基本执行单元的Systolic结构进行了分析,最后指出,虽然立方体结构在计算n惯性矩阵对
4、角元素时只需O(log2)步,而计算整个惯性矩阵的步数仍为O(n).在这些结构中以列式结构最好,其他结构虽然有优点,但缺点也很明显.比如立方体结构会使通讯很复杂.文[5]利用递推倍增法给出了两种计算惯性矩阵的方法,第一种是用n/2个处理器计算步为nnnO(nlog2)的并行算法;第二种是用n(n-1)/2log2个处理器计算步为O(log2)的并行算法.[6]2Fijany和Bejczy基于CompositeRigid-BodySpatialInertia方法,面向O(n)个处理器提出[7]了两种并行算法.Vusk
5、ovic和Liang提出了一种近似的惯性矩阵并行算法,虽然这种方法具有很高的计算效率,但是以降低结果精度为代价的.注意到在现有的机械臂正动力学及惯性矩阵的计算方法中,大部分都是与相应的逆动力学方法紧密相关的.因此,本文先给出了一种非递推形式的逆动力学计算公式,然后把文[1]a0国家自然科学基金及中科院机器人学开放研究实验室基金资助项目.1996-10-22收稿第19卷第5期邹建奇等:机械惯性矩阵的并行计算345中的第一种计算惯性矩阵的方法进行并行化,从而提出了一种有效的并行算法.2逆动力学计算公式[8]Zheng和
6、Hemami以Euler角和物体的质心坐标作为广义坐标,建立了一种非完全递推形式的多刚体系统逆动力学计算模型.但这个模型有一个致命的弱点,即在计算关节力矩时仍采用递推公式,而这部分的计算量又很大,从而破坏了模型的内在并行性,影响了其计算效率.本文通过采用方向余弦描述物体的转动,并利用坐标变换的方法导出了刚性臂的非递推形式的逆动力学计算模型.2.1运动学方程取连杆的中心惯性主轴坐标系为连杆坐标系,并以该坐标系相对于惯性坐标系的方向余弦矩阵描述连杆的转动,以质心在惯性坐标系中3个坐标描述连杆的空间位置.为了从关节变量导
7、出方向余弦,还须在每个连杆上建立一个与该连杆固连的关节坐标系,坐标系的建立[9]按照ModifiedDenavit-Hartenberg方法.对于连杆i,Xi,Yi,Zi为连杆坐标系,xi,yi,zi为该连杆的关节坐标系.i设Ai为由Xi,Yi,Zi到xi,yi,zi的转换矩阵,Ai-1为由xi,yi,zi到xi-1,yi-1,zi-1的转换矩ii阵.显然,Ai为一常矩阵,只与连杆的结构参数有关.当关节变量qi已知时,Ai-1=Ai-1(qi)亦可完全确定.又设Ci为由XiYiZi到惯性坐标系X0Y0Z0的方向余弦
8、矩阵,则有ic11c12c1312iCi=c21c22c23=A0A1⋯Ai-1Ai=Ci(qi,⋯,qi)(1)c31c32c33aaaaCi=Ci(q1,⋯,qi;q1,⋯,qi)(2)Cbbaabbi=Ci(q1,⋯,qi;q1,⋯,qi;q1,⋯,qi)(3)iiiiTiiiiT设Wi=[wi1,wi2,wi3]和Wi=[wai1,wai2,wai3
