矢量分析习题解答～～

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1、KKKKKKKK1、已知矢量A=2ex+3ey−ez，B=ex+ey−2ez。，试KKKK求：(1)A和B的大小；(2)A和B的单位矢量；KKKKKKK(3)AiB；(4)A×B；(5)A和B之间的夹角；(6)A在KB上的投影。解：(1)A=14，B=6KKKK231eeee=+−(2)Axyz141414KKKK112eeee=+−Bxyz666KK(3)ABi=++=()ABxxAByyABzz7KKKeeexyzKKKKKA×BAAA==−53eee+−(4)xyzxyzBBBxyzKKABi7(5)θ==arccos()arccos()AB84KK7Aei=(6)B62

2、2、求标量场f(x,y,z)=xy+2z在点(1,1,1)的梯度KKKK和在该点沿l=xex−2ey+ez方向的变化率。KKK解∇=fyexx+ezyz+4eKKK∇=feee++4xyz(1,1,1)∂fKKKK1213KKK=∇feii=(4ee++e)(e−e+e)=lxyzxyz∂l(1,1,1)6666KKKK3、计算矢量场F=xyex+2yzey−ez的旋度。KKKKKKeeeeeexyzxyzK∂∂∂∂∂∂KK∇×F===−2ye−xexz∂∂∂∂∂∂xyzxyzFFFxyy21z−xyzKKKK4、求矢量场F=ρeρ+eφ+zez穿过ρ≤1，0≤φ≤π，0≤z≤

3、1所确定区域的封闭面的通量。zyKKπ1KKKKFdSii=+()(ρρeezedde+ρφ上)v∫∫s00∫ρφzzz=1zπ1KKKK++()ρρeez+eddeiρφ(−)（下）∫∫ρφzz00z=0π1KKKK++()ρρeez+edizdeφ（半圆柱面）∫∫ρφzρ00ρ=111KKKK++()ρρee+zeiddze（x小于0平面）∫∫ρφzφ00φπ=y11KKKK++()ρρeez+−eddize()（大于0平面）x∫∫ρφzφ00φ=0ππ11=+∫∫zdρρφd∫∫−zdρρφd00zz==1000π111++∫∫ρρφdzd∫∫ddzρ00ρφ==100π

4、11+−∫∫ddzρ00φ=01=++ππ023=π2(2)由于是封闭面，而且函数可微，故可用散度定理，将封闭面积分转换为体积分K11∂∂Fφ∂F∇=iFF()ρ++zρρρ∂∂ρρ∂z=++201=3K11π∫∫()∇=iFdV∫∫3dρρφddzV0003=π2KK=v∫FdSis