矢量分析课件习题练习

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1、例1在圆柱坐标中,一点的位置由定出,求该点在:(1)直角坐标中的坐标;(2)球坐标中的坐标.解:(1)由直角坐标系中的点与圆柱坐标系中的点的关系有:(2)由圆柱坐标系中的点与球面坐标系中的点的关系有:故该点的直角坐标为故该点的球坐标为习题练习补习题练习例2现有三个矢量为(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示?分析(1)如果这个矢量的旋度为零,这个矢量就可以用一个标量函数的梯度来表示.(2)求出这些矢量的源分布.习题练习如果这个矢量的散为零,这个矢量就可以用一

2、个矢量函数的旋度来表示.分析(2)通量源(散度源)的体分布涡旋源(旋度源)的面分布解:(1)在球坐标系中习题练习故矢量既可以由一个标量函数的梯度表示,也可以由一个矢量函数的旋度表示习题练习在圆柱坐标系中故矢量可以由一个标量函数的梯度表示习题练习在直角坐标系中故矢量可以由一个矢量函数的旋度表示习题练习(2)这些矢量的源分布为习题练习例3求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数,此方向由单位矢量定出:求(2,3,1)点的方向导数值.解:故沿方向的方向导数为点(2,3,1)处沿的方向导数值为习题练习例4

3、一径向矢量场在圆柱坐标有,在球面坐标中有,如果,那么函数会有什么特点呢?解:在圆柱坐标系中,由和有则在球面坐标系中,由和有则习题练习例5证明：（1）；（2）；（3），解：（1）则其中，为一常矢量。（2）（3）习题练习补充：直角坐标系圆柱坐标系习题练习球面坐标系习题练习例6图中所示导体中电位函数与及无关(取圆柱坐标系),并且电位函数满足,已给定和,求电位函数的表达式以及电场强度解:(1)在圆柱坐标系中由有积分之得:结合边界条件和得所以习题练习(2)由以及电场强度与电位的函数关系得习题练习