泛函分析在微电子领域的应用

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1、泛函分析在微电子领域的应用集成电路工程黄庆丰11SG21908摘要：简单阐述了泛函分析与量子力学方法结合形成的密度泛函理论，进一步说明了密度泛函在微电子领域的一些应用。密度泛函理论Densityfunctionaltheory(DFT)是一种研究多电子体系电子结构的量子力学方法。密度泛函理论在物理和化学上都有广泛的应用。关键词：泛函；密度泛函；微电子；DFT泛函的基本思想是把函数（或曲线等）看作空间的元素或点，而函数的集合构成了空间，泛函分析是研究无限维线性空间的拓扑性质及其泛函与算子的一般性质的一个现代数学分支，它是无限维分析学的一个重要组成部分。为了研究多电子体系电子结构，在原有量子力学

2、的基础上，形成了Thomas-Fermi计算模型，这便是早期的密度泛函理论（Densityfunctionaltheory简称DFT）。密度泛函理论在物理和化学上都有广泛的应用，特别是用来研究微电子机械系统中微纳结构中电子的状态及能量分布，是该领域最常用的方法之一。DFT是电子结构理论的经典方法，特别是Hartree-Fock方法和后Hartree-Fock[1]方法，是基于复杂的多电子波函数的理论。密度泛函理论的主要目标就是用电子密度取代波函数做为研究的基本量。因为多电子波函数有3N个变量（N为电子数，每个电子包含三个空间变量），而电子密度仅是三个变量的函数，无论在概念上还是实际上都更方便

3、处理。虽然密度泛函理论的概念起源于Thomas-Fermi模型，但直到Hohenberg-Kohn定理提出之后才有了坚实的理论依据。Hohenberg-Kohn第一定理指出体系的基态能量仅仅是电子密度的泛函。Hohenberg-Kohn第二定理证明了以基态密度为变量，将体系能量最小化之后就得到了基态能量。最初的HK理论只适用于没有磁场存在的基态，虽然现在已经被推广了。最初的Hohenberg-Kohn定理仅仅指出了一一对应关系的存在，但是没有提供任何这种精确的对应关系。正是在这些精确的对应关系中存在着近似（这个理论可以被推广到时间相关领域，从而用来计算激发态的性质）。密度泛函理论最普遍的应用

4、是通过Kohn-Sham方法实现的。在Kohn-ShamDFT的框架中，最难处理的多体问题（由于处在一个外部静电势中的电子相互作用而产生的）被简化成了一个没有相互作用的电子在有效势场中运动的问题。这个有效势场包括了外部势场以及电子间库仑相互作用的影响，例如，交换和相关作用。处理交换相关作用是KS-DFT中的难点。目前并没有精确求解交换相关能EXC的方法。最简单的近似求解方法为局域密度近似(LDA)。LDA近似使用均匀电子气来计算体系的交换能（均匀电子气的交换能是可以精确求解的），而相关能部分则采用对自由电子气进行拟合的方法来处理。自1970年以来，密度泛函理论在微电子与固体电子学的计算中得到

5、广泛的应用。在多数情况下，与其他解决量子力学多体问题的方法相比，采用局域密度近似的密度泛函理论给出了非常令人满意的结果，同时固态计算相比实验的费用要少。尽管如此，人们普遍认为量子化学计算不能给出足够精确的结果，直到二十世纪九十年代，理论中所采用的近似被重新提炼成更好的交换相关作用模型。密度泛函理论是目前多种领域中电子结构计算的领先方法。尽管密度泛函理论得到了改进，但是用它来恰当的描述分子间相互作用，特别是范德瓦尔斯力，或者计算半导体的能隙还是有一定困难的。在实际应用中，Kohn-Sham理论能够依照需要解决的不同问题而采用不用的方法。在固态计算中，局域密度近似与平面波基矢依然被经常采用，作为

6、一种电子气方法用它来处理无限固体问题是比较合适的。尽管如此，在分子计算中，需要更多的复杂函数，而且针对化学应用开发了许多的交换相关函数。但是，其中有一些与统一电子气近似不一致，在电子气限制下必须使用局域密度近似。BLYP（由Becke，Lee，Yang，和Parr的名字得来）是一种应用广泛的函数。而B3LYP[3-5]的应用则更为广泛，它是一种混合方法。BLYP的函数将DFT中的交换函数与[2]Hartree-Fock理论中准确的交换函数结合起来。这些混合函数中通常以分子的“训练集”作为可调参数。不幸的是，尽管这些函数的结果对于大多数计算都是十分准确的，但却没有系统的求解方法（与一些传统的波

7、形方法如态相互作用或者偶极子理论形成对比）。因此在目前的DFT方法中如果不将计算结果与其他方法或实验相比较，我们很难估计计算的误差。值得注意的是当矢量存在时DFT的理论基础将完全被破坏，例如磁场。因为在这种情况下，电子密度与外部电势的一一对应的关系被破坏。磁场的存在导致了两种不同的理论：电流密度泛函理论和磁场泛函理论。在这两种理论中，交换和相关都被推广而不是仅考虑电子密度。在由Vignale和Rasolt提出