数学中的辩证思想

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1、数学中的辩证思想——我爱数学，我爱辩证法郭洪玲石家庄市第十五中学050021论文摘要：数学内容与方法中处处体现着唯物辩证法，在课堂的教与学中，充分运用数学本身的辩证因素，创设恰当的问题情境，培养学生的科学思维方法，发展学生的辩证思维能力，使学生享受到学习数学的快乐。关键词：数学教学辩证法数学素养数学内容与方法中处处体现着唯物辩证法，如整数与分数、有限与无限、连续与间断、直线与曲线、确定现象与随机现象及一般与特殊、数形结合、函数方程等等。正如恩格斯所说“现实世界的辩证法在数学概念和公式中能得到自己的反映，学生到处都能遇到辩证法这些规律的表现”。 因此，在课堂的

2、教与学中，充分运用数学本身的辩证因素，教师设计、利用恰当的问题情境，有指导的启发，加大智力参与的程度，交流思维方法、思维过程，使学生在学习中体验和领会事物的绝对与相对、现象与本质特殊与一般、量变与质变、对立与统一间的辩证关系，不仅可以培养学生的科学思维方法，发展学生的辩证思维能力，而且也使学生享受到学习数学的快乐，喜欢数学。1．坚持联系的观点世界上的一切事物都是普遍联系的，这是唯物辩主义的基本观点。以函数为例，不仅函数的图象和性质之间存在联系，它与其他数学内容也有着密切的联系：函数—方程—不等式（方程的根可看作函数的图象与x轴交点的横坐标，不等式的解就是函数

3、的图象在x轴上方的那一部分所对应的横坐标的集合）；数列是定义在正整数集合上的函数，同样，几何中的距离由于具有最小的本质属性也与函数联系在一起；二次函数的图象是抛物线，因其具有圆锥曲线的背景，又可以研究与直线的位置关系，常与一元二次方程根的分布问题相综合，又能与数形结合的方法相联系……概念是数学知识的基础，是数学思想与方法的载体。概念最能体现数学的抽象性，因而成为教与学的难点。在进行“映射”的教学过程中，我先请一位同学起立，让同学们把他介绍给我认识。学生们来了情绪，有人说：他叫王森，15岁，团员，近视，他是体委，他喜欢踢足球，爱吃苹果、香蕉……我们的课堂上一下

4、子就拥有了丰富的“对应”关系：教室内的所有的人员与姓名、年龄、学号、政治面貌、职务、性别、爱好等之间的对应。同学们不仅看到对应形式的多样性，还通过合作进一步概括出特殊的对应——映射的概念，课堂上透着轻松、自然，流露出同学们的自信与智慧。当我再随手拿起书桌上放着的一本书时，由此产生的对应关系又一次让同学们热情高涨……联系的观点，让我们学会科学的思维方法：先找到事物之间存在的必然联系，再利用这种关系解决问题。2．坚持发展的观点事物的普遍联系构成了事物的运动、变化和发展。大到教书育人的过程中，如理论和实践、教与学、德育与智育、统一要求与因材施教之间，小到数学内部、

5、数学与其他学科之间、数学与生产生活之间，既相互联系又不断发展、变化，都是辩证的统一。例题教学作为学习的重要途径，可帮助学生巩固、深化基础知识，消除困惑，纠正存在的问题；完善知识系统，也是培养学生思维能力的主渠道。例1已知x、y、m、n∈R，x2+y2=1，m2+n2=4，求mx+ny的取值范围。有的学生根据自己的知识、经验，很快提出下面的一个方案。解：∵x2+y2=1，m2+n2=4，∴x2+y2+m2+n2=5，又x2+m2≥2mx，y2+n2≥2ny，∴mx+ny≤2.5。故mx+ny的取值范围为（-∞，2.5]。这样解对么？有学生说：“错了”。“错在哪

6、里？”有人答：“取不到2.5”，“不可能等于－100”。大多数学生点头了。“错误是怎样产生的？”“学，起于思；思，源于疑”。课堂学习的过程应该是一个包含有猜想、错误与尝试、证明与反驳、检验与改进的复杂过程。在寻找原因的过程中必有一种愤懑的感觉，有一种强烈的寻根究底的心情：是粗心大意了？基础知识未掌握好？还是对知识理解错误造成的？认清题目的结构特征是变形的突破口，积与和运算关系的转化让同学们联想到重要不等式，重要不等式的本质理解不到位，而且使用时必须注意“定、等”的条件；题目中平方和的条件，可以与三角函数联系在一起……通过反思，大家合作交流，不仅深化基础知识，

7、走出误区，还应运而生了多种方法。　　解1：∵x2+y2=1，∴4x2+4y2=1，又m2+n2=4，∴4x2+4y2+m2+n2=8，又4x2+m2≥4

8、mx

9、，4y2+n2≥4

10、ny

11、，∴

12、mx+ny

13、≤

14、mx

15、+

16、ny

17、≤2。故mx+ny的取值范围为[-2，2]。解2：由已知可设x=cosα，y=sinα，m=2cosθ，n=2sinθ，α、θ∈R,则mx+ny=2cosαcosθ+2sinαsinθ=2cos（α-θ）故mx+ny的取值范围为[-2，2]。解3：设u=（x，y），v=（m，n），得

18、u

19、=1，

20、v

21、=2，利用平面向量数量积的性质

22、uv

23、

24、≤

25、u

26、

27、v

28、，则

29、mx+ny

30、=

31、uv

32、≤

33、u

34、

35、