2020版高中数学第一章解三角形1.2应用举例（第1课时）高度、距离问题学案新人教b版

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1、第1课时　高度、距离问题学习目标　1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．知识点一　实际应用问题中的有关术语1．铅垂平面与地面垂直的平面．2．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．3．视角观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的角．知识点二　测量方案测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直

2、接测量某楼高．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．1．已知三角形的三个角，能够求其三条边．(　×　)2．两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解．(　√　)3．两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解．(　√　)题型一　测量高度问题例1　如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和

3、45°，则A点离地面的高AB等于(　　)A．10mB．5mC．5(－1)mD．5(＋1)m答案　D解析　方法一　设AB＝xm，则BC＝xm.∴BD＝(10＋x)m.∴tan∠ADB＝＝＝.解得x＝5(＋1)．∴A点离地面的高AB等于5(＋1)m.方法二　∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC＝·sin30°＝m，∴AB＝ACsin45°＝5(＋1)m.反思感悟　利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中

4、，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．跟踪训练1　江岸边有一炮台C高30m，江中有两条船B，A，船与炮台底部D在同一直线上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，则两条船相距________m.答案　30(－1)解析　在△ABC中，由题意可知AC＝＝60(m)，BC＝＝30(m)，∠ACB＝15°，AB2＝(30)2＋602－2×30×60×cos15°＝1800(2－)，所以AB＝30(－1)m.题型二　测量距离问题例2　如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边测

5、出CD的长为km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．解　在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得＝，则BC＝＝(km)．在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD为正三角形，∴AC＝CD＝(km)．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝＋－2×××＝，∴AB＝(km)．∴河对岸A，B两点间的距离为km.反思感悟　测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离

6、问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．跟踪训练2　要测量河对岸两地A，B之间的距离，在岸边选取相距100米的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求A，B两地的距离．解　如图在△ACD中，∠CAD＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC＝CD＝100(米)．在△BCD中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°，由正弦定

7、理得BC＝＝200sin75°(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(100)2＋(200sin75°)2－2×100×200sin75°cos75°＝1002×＝1002×5，∴AB＝100(米)．∴河对岸A，B两点间的距离为100米．三角测量中的数学抽象典例　如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.求索道AB的长．解　在△ABC中，因为cosA

8、＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由＝，得AB＝·sinC＝×＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.[素养评析]　数学抽象指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象．在本例中，我们舍去A，B，C三处的景致、海拔、经度、纬度等非本质属性，得到纯粹的三个点，舍掉步行、乘缆车、速度等表征，直接抽象出线段AC，AB的长，都属于