2018版高中数学 第1章 解三角形 1.2 第1课时 距离和高度问题学案 新人教B版必修5

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1、第1课时　距离和高度问题1.能将实际问题转化为解三角形问题.(难点)2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度有关的实际应用问题.(重点)[基础·初探]教材整理　实际测量中的有关名词、术语阅读教材P12～P13问题3，完成下列问题.实际测量中的有关名词、术语名称定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线铅垂平面与地面垂直的平面坡角坡面与水平面的夹角α为坡角坡比坡面的垂直高度与水平宽度之比坡比：i＝仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时视线与水平线的夹

2、角判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低.(　　)(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边.(　　)(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得.(　　)(4)坡面与水平面的夹角称之为坡角.(　　)(5)坡面的水平宽度与坡面的铅直高度之比称为坡比.(　　)(6)坡角的范围是[0，π].(　　)【解析】　(1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高.(2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边.(3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得.(4)√.由坡

3、角的定义可知.(5)×.因为坡比是指坡面的铅直高度与坡面的水平宽度的比.(6)×.坡角的范围是(0，π).【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×[小组合作型]测量距离问题　要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离.【精彩点拨】　将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形.【自主解答】　如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝

4、km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋2－2×××cos75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为km.三角形中与距离有关的问题的求解策略：(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解.(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应

5、用正、余弦定理来解决[再练一题]1.如图121，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点的距离，先在岸边取基线AC，测得AC＝120m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B两点间的距离.【导学号：18082006】图121【解】　在△ABC中，AC＝120，∠A＝45°，∠C＝75°，则∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝60°，由正弦定理，得AB＝AC＝＝20(3＋).即A，B两点间的距离为20(3＋)m.测量高度问题　(1)如图122，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米

6、，点C位于BD上，则山高AB等于(　　)图122A.100米B.50米C.50米D.50(＋1)米(2)在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是(　　)A.20mB.20(1＋)mC.10(＋)mD.20(＋)m【精彩点拨】　(1)解决本题关键是求AB时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解.(2)解决本题关键是画出示意图.【自主解答】　(1)设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝h，所以h－h＝100，即h＝50(＋1).(2)如图，由条件知四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD

7、＝20m，BC＝AD＝20m.在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20m，∴EC＝CD·tan60°＝20m.∴BE＝BC＋CE＝(20＋20)m.选B.【答案】　(1)D　(2)B解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图.(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形.(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用[再练一题]2.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m).如图123所示，竖直放置的标杆BC的高

8、度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值.图123【解】　由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，解得H＝＝＝124.因此，算出