构造法在数学解题中的方法与技巧

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1、广西民族学院学报(自然科学版)第7卷第4期







JOURNALOFGUANGXIUNIVERSITYFORNATIONALITIESVol.7No.42001年11月(NaturalScienceEdition)
















Nov.2001文章编号:1007-0311(2001)04-0303-04构造法在数学解题中的方法与技巧
黄飞燕(广西航运学校,广西南宁
530007)摘
要:结合教学实践及解题研究理论,详细分析了在数学解题中运用构造法解题的方法与技巧,在数学教学中具有一定的实践作用与指导意义.关键词:构造法;解

2、题研究;方法;技巧中图分类号:G424
1
O143


文献标识码:A学习数学必须善于寻求解题方法.解题意味着什个圆内作几个不同类型的内接三角形,见图1
么呢?在于发现一条摆脱疑难、绕过障碍的途径,实现从已知到未知的转化过程.在解题过程中,由于某种需要,要把题设条件中的关系构造出来,要么将关系设想在某个模型之上得到实现,要么将已知条件经过适当的逻辑组合而构造出一种新的形式,从而使问题获得解决.在这种思维过程中,对已有知识和方法采取分解、组合、变换、类比、限定、推广等手段进行思维的再创造,构成新的式子或图形来帮助解题的方法称图1
圆内接三角形图之为构

3、造法.用构造法解题的巧妙之处在于不是直接去解所由图形可知,尽管三角形的外接圆半径R保持给问题A,而是构造一个与问题A有关的辅助问题不变,它的高h却可变得很小.因此可判定r+R
hB.这里引出问题B并非为了它本身,而是通过它帮不恒成立,于是,只须举出使r+R>h的反例即可.助解决问题A.如果问题B比问题A更简单更直观,由图形可知,出现r+R>h的情况是钝角三角那么这种思考问题的方法就可能获得成功.形
为了构造方便,不妨考虑钝角等腰三角形.设腰例1
设
ABC的内切圆与外接圆半径分别为r长为a,底角为
,则h=asin

4、高为h.那么,关系式r+R
h是角形顶角为120
即可.故对于顶角为120
的等腰三角否恒成立?形有r+R>h.[分析与解]这是一个存在性的探究题
在同一例2
设

5、K

6、
2,求证存在唯一的一个整数K,
收稿日期:2001-08-12.作者简介:黄飞燕,女,广西航运学校教师.303广西民族学院学报(自然科学版)






2001年11月
第7卷22n使得代数式(4-K)x+2(K-2)x+1的值恒为正只需证明S(n)=(1+x)即可.数,并求出这个整数K.对于n、m
N,易证S(n)
S(m)=S(n+m)
[分析与解]构造二次函数:将以上推广,对

7、Ki
N(i=1、2,
,N),则有22y=(4-K)x+2(K-2)x+1S(K1+K2+
+Ki)=S(K1)
S(K2)


S(Ki)这样,所求问题便转化为证明存在唯一的一个正数令K1=K2=K3=
=Kn=1,则有K,使得函数的值恒大于零.这时只需nS(n)=[S(1)]24-K>0n22(1)又因为S(1)=1+X,所以S(n)=(1+x),这就证
=4(K-2)-4(4-K)<0明了命题.解不等式组求出整数K便可得证.1.2
构造引理2因

8、K

9、
2,故4-K
0
要使y>0恒成立,在解题过程中,常常需要使用某些尚未证明的结只需(1)成立

10、,可以推出0

11、正整数,为了方便起见,将法证明存在性的一类问题是一种有效的方法.不仅如n个互不相等的正整数按从小到大的顺序排列ai1,n此,纵观初等数学问题,在解题过程中,采取构造一个akai2,ai3,
,aik,经过有限次的交换后,可将
2变合适的辅助问题,打通一条能向解决问题的渠道具有k=1Kn一定的普遍意义.用构造法解题,见解独到,不蹈常aik为
2的形式.由此启发,可构造引理:规,妙趣横生,对培养学生的创造性思维能力是十分k=1K有意义的.如何借助构造法实现解题过程中的转化arasasar若ar
as,r
S,则2+2
2+2.rsrs呢?关键是对题设条件

12、进行逻辑组合,一般化,特殊由引理可得:化,巧妙地对概念进行分析与综合,构造出一种思维nnakaik的创造物.