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1、第32卷第23期Vol.32No.232008年12月10日Dec.10,2008基于傅里叶变换的精确频率测量算法牟龙华,邢锦磊(同济大学电子与信息工程学院,上海市200092)摘要:传统的傅里叶频率测量算法,通过傅里叶算法求出相邻2个周期的相位,采用相位差对采样频率进行修正和迭代,计算量大而精度差。文中根据严格推导得到傅里叶算法计算值的准确数学形式,通过对相位差的三角函数进行分解展开,代入傅里叶算法计算值,即可在不需要计算相位的情况下得到相邻2个周期相位差的准确值,从而得到真实的信号频率。仿真
2、分析结果表明,该算法精度高,计算量小,实现简单,完全适合于微机保护测控类装置的实际应用。关键词:频率测量;傅里叶变换;相位差中图分类号:TM9350引言50Hz,对应的理想角频率为ω0,周期为T0。由于电力系统的实际频率通常在50Hz上下波动,故可电力系统交流采样普遍采用傅里叶算法,要求以设基波的实际频率为f=f0+Δf,对应的实际角采样频率和原始信号严格同步,即采样频率是基波频率为ω,周期为T,Δf表示频差。输入信号可以频率的整数倍,否则会产生频谱泄漏,不能正确反映表示为:被测信号的各种参数,
3、引起傅里叶算法计算误差。x(t)=Umsin(2πf0t+2πΔft+α0)(1)为了减少傅里叶变换的频谱泄漏,提高傅里叶算法式中:Um和α0分别为输入正弦信号的幅值和初相的计算精度,频率跟踪技术成为现代微机保护装置角。必不可少的重要组成部分。由于ω在ω0附近波动,所以在实际角频率ω未目前,频率跟踪测量方法主要可分为硬件法和[123]知的情况下,通常采用理想角频率ω0近似计算,得软件法2类。硬件法通过滤波整形电路和锁相近似傅里叶变换为:环实现,需要一定的成本,并且实现较复杂,不适应TT220微机
4、保护装置微型化的发展方向。软件测频方案无a=x(t)sinωtdt≈x(t)sinω0tdtT∫0T0∫0需额外硬件电路,实现方式灵活,因而得到了广泛的TT220重视。常用的软件跟踪测频算法有傅里叶算法、最b=T∫x(t)cosωtdt≈x(t)cosω0tdt0T0∫0[429]小二乘法、卡尔曼滤波、小波分析法等多种算法。(2)传统的傅里叶频率测量算法,通过计算得到相邻将式(1)代入式(2),并进一步展开,得展开后的[10212]2个周期的相位,再用得到的频率偏差值进行正弦项和余弦项分别为:迭
5、代修正,需多次迭代运算,计算量大且测量精度得2T0a=Umsin(2πf0t+2πΔft+α0)·不到保证。T0∫0本文在对傅里叶算法进行分析的基础上,介绍2Umf0sin2πf0tdt=·了一种精确的傅里叶频率测量算法。该算法能在电πT0Δf(2f0+Δf)力系统频率偏离额定值的情况下自动跟踪频率变化cos(πΔfT0+α0)sinπΔfT0(3)T测得其精确值。20b=Umsin(2πf0t+2πΔft+α0)·T0∫01基本原理2Um(f0+Δf)cos2πf0tdt=·πT0Δf(2f0
6、+Δf)1.1信号中仅含基波分量sin(πΔfT0+α0)sinπΔfT0(4)假设输入电压或电流信号是理想的正弦波信相位φ的表达式如下:号,即仅含有基波分量。令基波的理想频率为f0=bf0+Δfsin(πΔfT0+α0)φ=arctan=arctanaf0cos(πΔfT0+α0)收稿日期:2008205219;修回日期:2008209208。(5)—67—2008,32(23)13进一步考虑在第2个采样周期进行的近似傅里arccosx=1.99826X2-0.64106X2+叶变换,则有:5
7、70.28996X2-0.0765X22T2T220a′=x(t)sinωtdt≈x(t)sinω0tdt式中:X=(1-x)/(1+x)。T∫TT0∫T0-4采用该式计算时,其计算误差值约为10。2T2T220b′=x(t)cosωtdt≈x(t)cosω0tdt1.2符号选取T∫TT0∫T0考虑到余弦函数是偶函数,故式(15)中Δf取(6)正还是取负将取决于角度2πΔfT0的符号。分析同理,可以得到式(6)展开后的正弦项和余弦项式(3)得:分别为:2Umf0sinπΔfT02Umf0a=πT
8、cos(πΔfT0+α0)a′=cos(3πΔfT0(2f0+Δf)Δf0+α0)·πT0Δf(2f0+Δf)令Δf的变化范围为-12.5Hz～12.5Hz,该sinπΔfT0(7)区间已足够满足实际的测频应用要求,则2πΔfT02Um(f0+Δf)b′=sin(3πΔfT0+α0)·的取值范围为(-π/2π,/2),且满足:πT0Δf(2f0+Δf)2Umf0sinπΔfT0(8)>0πT0(2f0+Δf)根据第2个采样周期得到的相位φ′为:(16)sinπΔfT0b′Δ>0φ′=arctan
