欧几里得几何

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1、欧氏几何欧几里得几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。欧几里得几何有时就指平面上的几何，即平面几何。本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里得空间。简称“欧氏几何”，是几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。数

2、学上，欧几里得几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。其中公设五又称之为平行公设（ParallelAxiom），叙述比较复杂，这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理。在高斯（F.Gauss,1777年—1855年）的时代，公设五就备受质疑，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（NikolayIvanovitchLobachevski）、匈牙利人波约（Bolyai）阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择，并非必然的几何真理，也就是“三角形内角和不一定等于一百八十度”，从而发现非欧几里得的几何学，即

3、“非欧几何”（non-Euclideangeometry）。平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里得几何，说明平行公理是不能被证明的（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何）。从另一方面讲，欧几里得几何的五条公理(公设)并不完备。例如，该几何中的所有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的

4、修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统  欧几里得《几何原本》把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字，共有二千多种版本。它的问世是整个数学发展史上意

5、义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。公设公理欧式几何的传统描述是一个公理、公设系统，通过有限的公理、公设来证明所有的“真命题”。欧式几何的五条公设是：1、任意两个点可以通过一条直线连接。2、任意线段能无限延长成一条直线。3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。4、所有直角都全等。5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。欧式几何的

6、五条公理是：1、等于同量的量彼此相等。2、等量加等量，其和仍相等。3、等量减等量，其差仍相等。4、彼此能够重合的物体是全等的。5、整体大于部分。导出命题第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条与该直线平行的直线。平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。）从另一方面讲，欧式几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形

7、的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。不朽丰碑欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部划时代的著作共分13卷，465个命题。其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书

8、中创造的一种被称为公理化的方法。详细说明在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命