一维非稳态导热

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1、一块无限大平板（如图3所示），其一半厚度为L=0.1m，初始温度T0=1000℃，突然将其插入温度T∞=20℃的流体介质中。平板的导热系数λ=34.89W/m℃，密度ρ=7800kg/m3，比热c=0.712J/kg℃，平板与介质的对流换热系数为h=233W/m2.℃，求平板内各点的温度分布。3．1数学描述由于平板换热关于中心线是对称的，仅对平板一半区域进行计算即可。坐标x的原点选在平板中心线上，因而一半区域的非稳态导热的数学描述为：(3-1)(3-2)(3-3)(3-4)该数学模型的解析解为:（3-5）其中,为方程的根，。表3给出了在平板表面(x=L)处由式(3-5)计算得到的不

2、同时刻的温度值。表3平板表面各不同时刻温度值。时间（S）12345678910温度(℃)981.84974.47968.88964.20960.11956.14953.08949.97947.07944.343．2数值离散3．3．1计算区域的离散一维非稳态导热指的是空间坐标是一维的。若考虑时间坐标，则所谓的一维非稳态导热实际上是二维问题(见图4)，即：有时间坐标Τ和空间坐标X两个变量。但要注意，时间坐标是单向的，就是说，前一时刻的状态会对后一时刻的状态有影响，但后一时刻的状态却影响不到前一时刻，图4示出了以X和Τ为坐标的计算区域的离散，时间从Τ=0开始，经过一个个时层增加到K时层和

3、K+1时层。3．3．1微分方程的离散对于i节点，在K和K+1时刻可将微分方程(3-1)写成下面式子：(3-6)(3-7)将式(3-6)~(3-7)的左端温度对时间的偏导数进行差分离散为：(3-9)(3-8)观察式(3-8)和(3-9)，这两个式子的右端差分式完全相同，但在两个式子中却有不同含义。对式(3-8)，右端项相对i点在K时刻的导数是向前差分。而在式(3-9)中，右端项是I点在K+1时刻的导数的向后差分。将式(3-8)和(3-9)分别代入式(3-6)和(3-7)，并将式(3-6)和(3-7)右端关于x的二阶导数用相应的差分代替，则可得到下列显式和隐式两种不同的差分格式：显式:

4、(3-10)(K=0,1,2,………,i=2,3,…,N-1)全隐式：(3-11)(K=0,1,2,……………i=2,3,…,N-1)以上两式中的。从式(3-10)可见，其右端只涉及K时刻的温度，当从K=0（即τ=0时刻）开始计算时，在K=0时等号右端都是已知值，因而直接可计算出K=1时刻各点的温度。由K=1时刻的各点的温度值，又可以直接利用式(3-10)计算K=2时刻的各点的温度，这样一个时层一个时层的往下推，各时层的温度都能用式(3-10)直接计算出来，不要求解代数方程组。而对于式(3-11)等号右端包含了与等号左端同一时刻但不同节点的温度，因而必须通过求解代数方程组才能求得这

5、些节点的温度值。3．3．1边界条件的离散对于式(3-3)和(3-4)所给出的边界条件，可以直接用差分代替微分，也可以用元体平衡法给出相应的边界条件，亦有显式和隐式之分。通常，当内部节点采用显式时，边界节点也用显式离散；内部节点用隐式时，边界节点亦用隐式。边界节点的差分格式是显示还是隐式，取决于如何与内部节点的差分方程组合。用K+1时刻相应节点的差分，代替式(3-3)和(3-4)中的微分，可得到边界节点的差分方程：（3-12）3．3．2最终的离散格式显式：（i=1,2,3,…,N）（初始值）（3-13）(i=2,3,…,N-1)（3-14）（3-15）（3-16）其中K=0,1,2,

6、……。当采用二阶精度的元体平衡法离散时，与式（3-15）和（3-16）对应的离散格式为：其中。隐式：（初始值）（3-17）（3-18）(i=2,3,…,N-1)（3-19）（3-20）其中K=0,1,2,……在用隐式差分计算时，每个时层都需要迭代求解代数方程组（3-17）~式（3-20）。在每个时层计算时，都要先假定一个温度场（一般取上一时层的温度场为本时层的初始场），然后迭代计算直至收敛。