函数的奇偶性与周期性1

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1、圆梦教育培训学校——专题训练招生热线：2997800圆梦教育培训学校——专题训练招生热线：2997800函数的奇偶性与周期性一、函数的奇偶性1、偶函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。2、奇函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。3、奇偶性：(1)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。(2)如果函数f(x)满足f(-x)=f

2、(x)且f(-x)=-f(x)，就称函数f(x)既是奇函数又是偶函数。(3)若函数f(x)满足，则称函数f(x)为非奇非偶函数。4、奇偶函数的图像特征：(1)奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数。(2)偶函数的图像关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。注意：①判断函数是奇函数还是偶函数的前提是定义域关于原点对称，如果定义域关于原点对称，再根据奇偶函数的定义去判断它是奇函数还是偶函数，如果定义域不关于原点对称，则直接判断函数是非

3、奇非偶函数；反之，如果函数是奇函数或偶函数，那么定义域关于原点对称。②奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的区间有相反的单调性。③定义域含零的奇函数有f(0)=0(可用于求参数)典例分析：1、判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)=x3；(2)f(x)=2x4+3x2；4、若是奇函数，则实数=_________二、函数的周期性1、周期性的定义：对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内任何一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，那么就把y=f(x)叫做周期函数，如果所有

4、的周期函数中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫最小正周期。2、由周期函数定义得：(1)函数f(x)满足-f(x)=f(a+x)，则f(x)是周期为2a的周期函数。(2)若函数恒成立，则周期T=2a。(3)若函数恒成立，则周期T=2a。3、周期在三角函数中的应用：(1)若y=f(x)的图像有两条对称轴x=a,x=b，则y=f(x)必是周期函数，且一个周期为T=2

5、a-b

6、;(2)若y=f(x)的图像有两个对称中心A(a,0)，B(b,0),则y=f(x)必是周期函数，且一个周期为T=2

7、a-b

8、;（3）若y=f

9、(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b，则y=f(x)必是周期函数，且一个周期为T=4

10、a-b

11、。典例分析:1、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则().A.B.C.D.3各年级各科一对一针对性教学3-6人精品班常年招生随到随学各年级各科一对一针对性教学3-6人精品班常年招生随到随学圆梦教育培训学校——专题训练招生热线：2997800圆梦教育培训学校——专题训练招生热线：2997800课堂练习B、f(x)=03、已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x取值范围是（）（A）

12、（，）(B)［，）(C)（，）(D)［，）8、若是奇函数，则．。10、设f(x)为奇函数，且x＜0时，f(x)=x2+3．求当x＞0时，f(x)的表达式为。课后练习1、下列判断正确的是（）A函数是奇函数B函数是偶函数C函数是非奇非偶函数D函数既是奇函数又是偶函数2、函数与的图象关于下列那种图形对称()A轴B轴C直线D原点中心对称3、函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为　　　　　　　　　　　　　　　（）A．B．C．D．4、已知函数为偶函数，则的值是（）ABCD5、定义在R上的偶函数，在上是增函数，则

13、（）A．B．C．D．6、函数在上递减，那么在上（）A递增且无最大值B递减且无最小值C递增且有最大值D递减且有最小值7、已知在上是的减函数，则的取值范围是()ABCD8、已知函数满足：x4,则=；当x＜4时=，则=（A）（B）（C）（D）9、函数()A．是偶函数，在区间上单调递增3各年级各科一对一针对性教学3-6人精品班常年招生随到随学各年级各科一对一针对性教学3-6人精品班常年招生随到随学圆梦教育培训学校——专题训练招生热线：2997800圆梦教育培训学校——专题训练招生热线：2997800A．是偶函数，在区间上

14、单调递减B．是奇函数，在区间上单调递增D是奇函数，在区间上单调递减10、定义在R上的函数f(x)满足f(x)=，则f（2009）的值为()A.-1B.0C.1D.211、已知函数，若，则=12．设，，则13．函数是奇函数，则实数的值为．14、判断函数的奇偶性（1）求函数的定义域（2）化简函数表达式（3）判断函数的奇偶性18、已知函数,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性