函数的奇偶性与周期性(1)

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面：一是函数奇偶性概念的应用，一般为求参数或求值，如2012年上海T9等，属于容易题；二是综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等)，如2012年陕西T2，福建T7等．2.高考对函数周期性的考查，题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相结合命题，如2012年山东T8等.[归纳·知识整合]1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特

2、点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称[探究]　1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝

3、x2＋1.3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．4.若T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期吗？提示：不一定．由周期函数的定义知，函数的

4、周期是非零常数，当n∈Z且n≠0时，nT是f(x)的一个周期．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)下列函数是奇函数的有(　　)①f(x)＝2x4＋3x2；　②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝；④f(x)＝x3＋1.A．1个　　　　　　　　B．2个C．3个D．4个解析：选B　首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称，然后由奇函数的定义逐个判断可知，②③为奇函数．2．(2013·郑州模拟)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)A．f(x)＋

5、g(x)

6、是偶函数B．f(x)－

7、g(x)

8、是奇函数C．

9、f(x)

10、＋g(x)是偶函

11、数D．

12、f(x)

13、－g(x)是奇函数解析：选A　∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．令F(x)＝f(x)＋

14、g(x)

15、，F(－x)＝f(－x)＋

16、g(－x)

17、＝f(x)＋

18、－g(x)

19、＝f(x)＋

20、g(x)

21、＝F(x)．故F(x)为偶函数．即f(x)＋

22、g(x)

23、是偶函数．3．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝(　　)A．－B．－C.D.解析：选A　∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f＝－f＝－f＝－f＝－2××＝－.4．(2012·重庆高考)若f(x)＝(x＋

24、a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a为二次函数，其图象的对称轴为x＝－，因为偶函数的图象关于y轴对称，所以－＝0，解得a＝4.答案：45．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．解析：∵当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，∴当x∈(0,1)时，f(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.又∵函数f(x)为奇函数，∴当x∈(－1,0)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－1)时，f(x)<0.∴满足f(x)>0的x的取

25、值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)判断函数的奇偶性[例1]　判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝(x＋1).[自主解答]　(1)由得x＝－或x＝.∴函数f(x)的定义域为{－，}．又∵对任意的x∈{－，}，－x∈{－，}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0.∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)∵∴－2≤x≤2且x≠0.∴函数f(x)的定义域关于原点对称．又∵x＋3>0，∴f(x)＝＝.又f(－x)＝，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(3)由得－1