数学竞赛辅导资料最短路程问题

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1、数学竞赛辅导资料最短路程问题数学竞赛辅导资料最短路程问题“蚂蚁觅捷径”问题，融知识性和趣味性于一体，有利于提高同学们的空间想象能力，培养同学们的探究意识和创新精神。现选取几例供大家参考。例1如图1，一只蚂蚁要从棱长为1的正方体的一个顶点A沿着表面爬到与它相距最远的另一个顶点G。蚂蚁爬行的最短路程是多少？图1分析解答：解答“蚂蚁觅捷径”问题最关键的就是确定最短爬行路线。对于本题，有的同学可能会认为最短路程是或等。这些都是错误的。本题要求同学们展开自己的空间想象能力，把正方体沿FG、GC、BC剪开，使面BCGF与面ABFE在同一个平面内，如图2所示，你会发现最短路程就是的斜边AG之长（两点之间

2、线段最短）。利用勾股定理易得，所以蚂蚁爬行的最短路程为。图2不过，路线可不止一条，你还能再找出来吗？我们不难发现，若正方体的棱长为a，最短路程就是。当蚂蚁在正方体内时，最短路线有6条，它们都同样是。例2如图3，一只蚂蚁从长、宽、高分别为5，4，3的长方体的一个顶点A沿着表面爬行到与之最远的另一个顶点G，最短路程是多少？第4页共4页数学竞赛辅导资料最短路程问题图3分析解答：通过解答例1给我们的启发，对此问题，将有六种方式对长方体表面进行剪开铺平求解。究竟哪条线路最短，下面逐一解答再比较。（1）剪开FG、GC、CB铺平得。（2）剪开HG、GC、CD铺平得。（3）剪开EF、FG、GH铺平得。（4

3、）剪开FB、FG、CG铺平得。（5）剪开FG、GH、HE铺平得。（6）剪开DH、HG、GC铺平得。因此最短路程为，这样的路线有两条。由此我们知道，若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且时，最短路程就是。例3如图4，一只蚂蚁绕圆柱一周从母线AB的端点A爬到B点。若圆柱的高为，底面半径为2，求蚂蚁爬行的最短路程。图4第4页共4页数学竞赛辅导资料最短路程问题分析解答：将圆柱侧面沿母线AB剪开展平得图5，则蚂蚁沿图5中的路线AB’爬行是最短路线。在中，，由勾股定理得。这样的路线有两条。图5想一想，如果蚂蚁从图4中的A点出发，沿圆柱侧面爬到上底面的C点，你能求出最短路程吗？这样的路线有几条？例4如

4、图6，一个圆锥底面半径为10，母线长为30，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥侧面爬行一周回到A点，所走过的最短路程是多少？图6分析解答：把圆锥的侧面沿母线AB剪开再展平得图7，则所求最短路线就是图7中线段的长度。图7因为所以。在Rt△ABC中，已知，，第4页共4页数学竞赛辅导资料最短路程问题由三角函数知识或勾股定理均可得到。其路线有两条。例5如图8，已知圆锥底面半径为5，母线长为20。一只蚂蚁从A点出发沿圆锥侧面绕行一周到母线AB中点C处，它爬行的最短路程是多少？图8分析与解答：将圆锥的侧面沿母线AB剪开再展平得图9，则所求长度为图9中AC的长。图9在△ABC中，。已知，根据勾股定理得。路线同样有

5、两条。想一想，当其条条件不变，如果∠ABC是锐角或钝角，你能求出最短路程吗？如果告诉圆锥底面半径和高，你还能求出最短路程吗？不妨试一试。第4页共4页