第1章《常用逻辑用语——1.2 简单的逻辑联结词》导学案

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1、第1章《常用逻辑用语-1.2.1》导学案(2)教学过程一、问题情境对于“命题p是q成立的充要条件”和“命题p成立的充要条件是q”，充分性、必要性分别指的是什么？二、数学建构1.充要条件如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.我们就说，p和q互为充要条件.(1)符号“⇔”叫做等价符号，“p⇔q”表示“p⇒q且p⇐q”，也表示“p等价于q”；(2)“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法四种“命题”反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应注意:(1

2、)确定条件是什么，结论是什么；(2)尝试从条件推出结论，从结论推出条件(方法有直接证法或间接证法)；(3)确定条件是结论的什么条件；(4)充要性包含:充分性p⇒q，必要性q⇒p，这两个方面，缺一不可.三、数学运用【例1】　若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？(见学生用书P5)[处理建议]　引导学生用推导符号先表示出它们的关系.[规范板书]　解　由题意可知M⇒N⇔P⇒Q，显然M是Q的充分不必要条件.[题后反思]　命题的充分必要性具有传递性.【例2】　若不等式

3、x-a

4、<2成立的充分

5、不必要条件是1

6、x-a

7、<2的解集，再由其解集与{x

8、1

9、x-a

10、<2，得a-23(等号不能同时成立)，解得1≤a≤3.因此，实数a的取值范围是[1，3].[题后反思]　给定两个条件p，q，集合A={x

11、x满足条件p}，B={x

12、x满足条件q}.①若p为q的充分条件，q为p的必要条件，则A⊆B；②若q为p的充分条件，p为q的必要条件，则B⊆A.【例3】　求证:实

13、系数一元二次方程x2+px+q=0有两个异号实根的充要条件是q<0.(见学生用书P6)[处理建议]　要区分清楚“必要性”“充分性”各应证明什么命题，分清两种情况下的条件和结论各是什么.[规范板书]　证明　①充分性:因为q<0，所以方程x2+px+q=0的Δ=p2-4q>0，所以方程x2+px+q=0有两个不相等的实根，设其为x1，x2.因为x1·x2=q<0，所以方程x2+px+q=0有两个异号实根.②必要性:因为方程x2+px+q=0有两个异号实根，设其为x1，x2，所以x1·x2<0.因为x1·x2=q，所以q<0.由①②，原

14、命题得证.[题后反思]　证明充要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明:(1)原命题和否命题都成立；(2)逆否命题和逆命题都成立；(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化.*【例4】　求证:对于任意的x，y∈R，“xy=0”是“x+y=0”的必要不充分条件.[处理建议]　要证明必要不充分条件，就是要证明两个方面，一个是必要条件，另一个是不充分条件.结合上题引导学生证明不充分性.[规范板书]　证明　必要性:对于任意的x，y∈R，如果x+y=0，那么x=0，y=0

15、，即xy=0.故“xy=0”是“x+y=0”的必要条件.不充分性:对于任意的x，y∈R，如果xy=0，如x=0，y=1，此时x+y≠0，故“xy=0”不是“x+y=0”的充分条件.综上，对于任意的x，y∈R，“xy=0”是“x+y=0”的必要不充分条件.[题后反思]　(1)判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断.(2)证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立.“A的充要条件为B”的

16、命题的证明:A⇒B证明了必要性；B⇒A证明了充分性.“A是B的充要条件”的命题的证明:A⇒B证明了充分性；B⇒A证明了必要性.四、课堂练习1.“xy≥0”是“

17、x+y

18、=

19、x

20、+

21、y

22、”的充要条件.2.“A∩B=A”是“A=B”的必要不充分条件.3.已知p:x+y≠-2，q:x，y不都是-1，那么p是q的充分不必要条件.4.求证:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.证明　充分性:若b=0，则f(x)=ax2+c，所以f(-x)=a(-x)2+c=ax2+c=f(x)，故f(x)为偶函数；必要性:若f(x)为偶

23、函数，则f(x)=f(-x)，即ax2+bx+c=a(-x)2-bx+c对任意的x∈R恒成立，所以b=0.综上，函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.五、课堂小结1.“充要条件”的判定方法.2.理解充要条件的含义并解决有关问题.