浅谈空间图形中角求法

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1、浅谈空间图形中角求法普兰店第六中学汤发贵立体几何中，角的求法是一个很重要的问题，解决起来也比较吃力，本文对这一类问题的解决给出了几种常用的方法。根据定义找出或作出所求的角，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法另外也可借助空间向量求这三种角的大小.1如图，四棱锥中，侧面是

2、边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.(Ⅰ)求与底面所成角的大小；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求二面角的余弦值.解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法答案：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角．5∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=．∴

3、∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．……6分(II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．建立空间直角坐标系如图，则,．由M为PB中点，∴．∴．∴，．∴PA⊥DM，PA⊥DC．∴PA⊥平面DMC．……4分(III)．令平面BMC的法向量，则，从而x+z=0；……①,，从而．……②由①、②，取x=−1，则．∴可取．由(II)知平面CDM的法向量可取，∴．∴所求二面角的余弦值为－．……6分法二：（Ⅱ）取的中点，连接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，则，又，则，即，又在

4、中，中位线，，则，则四边形为，所以，在中，，则，故而，5则（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则为二面角的平面角，在中，易得，，故，所求二面角的余弦值为点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.2如图，在长方体中，点在线段上.（Ⅰ）求异面直线与所成的角；（Ⅱ）若二面角的大小为，求点到平面的距离.解析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识,本题实质上求角度和距离,在求此类问题中，要将这些量归结到三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题

5、的解决，此外用向量也是一种比较好的方法.答案：解法一：（Ⅰ）连结。由已知，是正方形，有。5∵平面，∴是在平面内的射影。根据三垂线定理，得，则异面直线与所成的角为。作，垂足为，连结，则所以为二面角的平面角，.于是易得，所以，又，所以。设点到平面的距离为.∵即，∴，即，∴.故点到平面的距离为。解法二：分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.（Ⅰ）由，得设，又，则。∵∴则异面直线与所成的角为。（Ⅱ）为面的法向量，设为面的法向量，则5∴.①由，得，则，即∴②由①、②，可取又，所以点到平面的距离。点评：立体几何的内容就是空间的判

6、断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量归结于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较容易写出来。总之，在立体几何中，求角是高考中的高频考点。而这个问题的处理有两只方法，一种是找角即把要求的角在图形中找出或作出，然后再计算；另一种是利用空间向量即把图形放到空间直角坐标系中，利用平面向量和平面的法向量求角。5