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1、《参数方程的概念》教学案2教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。三、教学方法：启发诱导，探究归纳四、教学过程参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(
2、x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程．思考探究曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？【提示】 联系x、y的参数t(θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.典型例题已知曲线C的参数方程
3、是(t为参数，a∈R)，点M(－3,4)在曲线C上．(1)求常数a的值；(2)判断点P(1,0)、Q(3，－1)是否在曲线C上？【思路探究】 (1)将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x，y，消去参数t，求a即可；(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．【自主解答】 (1)将M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程得消去参数t，得a＝1.(2)由上述可得，曲线C的参数方程是把点P的坐标(1,0)代入方程组，解得t
4、＝0，因此P在曲线C上，把点Q的坐标(3，－1)代入方程组，得到这个方程组无解，因此点Q不在曲线C上．规律方法 点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上．(1)对于曲线C的普通方程f(x，y)＝0，若点M(x1，y1)在曲线上，则点M(x1，y1)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若点N(x2，y2)不在曲线上，则点N(x2，y2)的坐标不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0.(2)对于曲线C的参
5、数方程(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则对应的参数t有解，否则参数t不存在．变式训练 (2013·周口质检)已知曲线C的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)．判断点A(2,0)，B(－，)是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．【解】 把点A(2,0)的坐标代入得cosθ＝1且sinθ＝0，由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0，同理，把B(－，)代入参数方程，得∴又0≤θ<2π，∴θ＝π，所以点B(－，)在曲线C上，对应θ＝π.互动探究 若本
6、例中的等边三角形变化为等腰直角三角形，AC为斜边，腰为a，其余条件不变，如何求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程？【解】 法一 如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M.则∠CBM＝－θ，∴即(θ为参数，0≤θ≤)为所求．法二 如图，设C点坐标为(x，y)，
7、OB
8、＝t,0≤t≤a.过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M，则Rt△ABO≌Rt△BCM.∴
9、OA
10、＝，
11、BM
12、＝，
13、MC
14、＝t，∴(t为参数，0≤t≤a)为所求．真题讲解(教材第26页习题2.1第3题)已知M
15、是正三角形ABC的外接圆上的任意一点，求证：
16、MA
17、2＋
18、MB
19、2＋
20、MC
21、2为定值． (2013·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，动圆x2＋y2－8xcosθ－6ysinθ＋7cos2θ＋8＝0(θ∈R)的圆心为P(x，y)，求2x－y的取值范围．【命题意图】 本题主要考查参数方程的概念及转化思想和分析解决问题的能力．【解】 由题设得(θ为参数，θ∈R)．于是2x－y＝8cosθ－3sinθ＝sin(θ＋φ)，(φ由tanφ＝－确定)所以－≤2x－y≤.所以2x－y的取值范围是[－，课堂练习1．下
22、列方程：(1)(m为参数)(2)(m，n为参数)(3)(4)x＋y＝0中，参数方程的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【解析】 由参数方程的概念知是参数方程，故选A.【答案】 A2．曲线与x轴交点的直角坐标是( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,0)D．(±2,0)【解析】 设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋t2，得x＝2，∴曲线与x轴的交点的直角坐标为(2,0)．【答案】
