《2.3.4平面与平面垂直的性质》（数学人教a版高中必修2）

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1、人民教育出版社高中必修2畅言教育《2.3.4平面与平面垂直的性质》培优练习本课时编写：成都市第二十中学付江平一、填空题1．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)．2.如图所示，PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射

2、影，给出下列结论：①AF⊥PB，②EF⊥PC，③AF⊥BC，④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是________．用心用情服务教育5人民教育出版社高中必修2畅言教育3.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为36，求a的值．4．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a

3、的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．5．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．用心用情服务教育5人民教育出版社高中必修2畅言教育参考答案1.②③④【解析】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD

4、所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确．由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．2.①③3.证明：(1)在题图1中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.即在题图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥

5、平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1－BCDE的高．由题图1知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.从而四棱锥A1－BCDE的体积为V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3，由a3＝36，得a＝6.4．证明　设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，用心用情服务教育5人民教育出版社高中必修2畅言教育PD＝a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴

6、PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD．5．(1)证明　在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解　过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝2．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2D

7、C，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，此即为梯形的高．用心用情服务教育5人民教育出版社高中必修2畅言教育∴S四边形ABCD＝×＝24．∴VP—ABCD＝×24×2＝16．用心用情服务教育5