《1.7.2 定积分在物理中的应用》导学案3

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1、《1.7.2定积分在物理中的应用》导学案3问题导学一、求变速直线运动的路程活动与探究1一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求点在t＝4s时的位置及经过的路程．迁移与应用若某一物体以速度v(t)＝4－t2做直线运动，求它在t＝1到t＝4这段时间内的路程．物体做变速直线运动的速度v，等于加速度函数a＝a(t)在时间[a，b]上的定积分；物体做变速直线运动经过的位移s，等于其速度函数v＝v(t)在时间区间[a，b]上的定积分．用定积分解决简单的物理问题时，关键是要结合物理学中的相关内容，将物理

2、意义转化为用定积分解决．二、求变力做功活动与探究2由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长量成正比，现知2N的力能使一个弹簧伸长3cm，试求要把弹簧拉伸0.4m所做的功．迁移与应用1．已知弹簧拉长0.02m，需要98N的力，则把弹簧拉长到0.1m所做的功为(　　)A．24.5JB．23.5JC．22.5JD．25.0J2．在原点O有一个带电量为＋q的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力．现有一个单位正电荷从距离为a处沿着射线方向移至距O点为b(a＜b)的地方，求电场力做的功．由于力F的大小随物体的位置变化而变化，因此

3、将其记为F(x)，F(x)在[a，b]上所做的功W＝F(x)dx．要解决好变力做功问题，必须熟悉相关的物理知识，正确写出被积函数．答案：课前·预习导学【预习导引】1．s＝v(t)dt预习交流1　提示：路程是位移的绝对值和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程：(1)若v(t)≥0，s＝v(t)dt；(2)若v(t)≤0，s＝－v(t)dt；(3)若在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)＜0，则s＝v(t)dt－v(t)dt．2．(1)W＝Fs　(2)F(x)dx预习交流2　提示：(1)求变力做功，要根据物理

4、学的实际意义，求出变力F的表达式，这是求功的关键．(2)由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力F(x)的方向做直线运动，使物体从x＝a移动到x＝b(a＜b)．因此，求功之前还应求出位移的起始位置与终止位置．(3)根据变力做功公式W＝F(x)dx即可求出变力F(x)所做的功．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1　思路分析：因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上，哪些时间段的位移为负．解：在t＝4s时该点的位移为(t2－4t＋3)dt＝＝(m)

5、．即在t＝4s时该点距出发点m．又∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0．∴在t＝4s时的路程为s＝(t2－4t＋3)dt＋＋(t2－4t＋3)dt＝(t2－4t＋3)dt－＋(t2－4t＋3)dt＝4(m)．迁移与应用　解：当1≤t≤2时，v(t)＝4－t2≥0；当2≤t≤4时，v(t)≤0，∴物体在t＝1到t＝4这段时间内的路程是s＝v(t)dt＋＝(4－t2)dt－(4－t2)dt＝－＝．活动与探究2　思路分析：先根据已知条件求出

6、比例系数k，得到变力F(x)与伸长量x的关系式，然后再用定积分求出功W．解：由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)＝kx，其中x为伸长量．∴2＝0.03k，得k＝(N/m)．于是F(x)＝x．故将弹簧拉长0.4m所做的功为W＝xdx＝x2＝(J)．因此将弹簧拉长0.4m所做的功为J．迁移与应用　1．A　解析：∵F(x)＝kx，∴k＝＝＝4900．∴F(x)＝4900x．由变力做功公式，得W＝4900xdx＝x2＝24.5(J)．2．解：取电荷移动的射线方向为x轴正方向，那么电场力为F＝k·(k为常数)，这是一个变力，在[x，x＋

7、Δx]上，显然，W＝·Δx，∴W＝dx＝kq＝kq．当堂检测1．物体以速度v(t)＝3t2－2t＋3做直线运动，它在t＝0到t＝3这段时间内的位移是(　　)A．9B．18C．27D．36答案：C　解析：所求位移s＝v(t)dt＝(3t2－2t＋3)dt＝(t3－t2＋3t)＝27．2．物体以速度v(t)＝2－t做直线运动，则它在t＝1到t＝3这段时间的路程为(　　)A．0B．1C．D．答案：B　解析：当t∈[1,2]时v(t)≥0，t∈[2,3]时v(t)≤0，故路程为

8、2－t

9、dt＝

10、(2－t)

11、dt＋(t－2)dt＝1．3

12、．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是(　　)A．1＋eB．eC．D．e－1答案：B　解析：所做的功W＝F(x)dx＝(1＋ex)dx＝(x＋ex)＝e．4．如果1N