《1.1.1 归纳推理》同步练习 2

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1、《1.1.1归纳推理》同步练习一、选择题1．已知数列，1，1，2，3，…，猜想该数列的第6项为(　　)A．4　　　　　　　　B．4C．5D．5【解析】　将各项均写成假分数的形式为，，，，，…，即，，，，，…，故猜想第6项为＝＝5.【答案】　D2．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72011的末两位数字为(　　)A．01B．43C．07D．49【解析】　∵75＝16807，76＝117649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72011＝74×502＋3，故其末两位数字为43.【答案】　B3．(2013·厦门高二检测)观察下列等式：13＋23＝(1

2、＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律第n个等式为(　　)A．13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2B．13＋23＋…＋n3＝[1＋2＋3＋…＋(n＋1)]2C．13＋23＋33＋…＋(n＋1)3＝(1＋2＋3＋…＋n)2D．13＋23＋33＋…＋(n＋1)3＝[1＋2＋3＋…＋(n＋1)]2【解析】　将各等式中的变化规律同n对应起来可知选D.【答案】　D4．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律，拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(　　)图1－1－6A．26B．31C．32D

3、．36【解析】　设第n个图案有an个菱形花纹的正六边形，则a1＝6×1－0，a2＝6×2－1，a3＝6×3－2，故猜想a6＝6×6－5＝31.【答案】　B5．把正偶数列{2n}的各项从小到大依次排成如下的三角形状数表，记M(r，t)表示该表中第r行的第t个数，则表中的数2014对应于(　　)24　68　10　1214　16　18　20……A．M(45，14)B．M(45，27)C．M(46，14)D．M(46，27)【解析】　由题意2014是数列{2n}中的第1007项，而数阵中的前r行共有1＋2＋3＋…＋r＝，令≤1007知r最大值为44.当r＝44时，前44行共有990项，故20

4、14位于第45行，第1007－990＝27个数，即M(45，27)．【答案】　B二、填空题6．如图1－1－7所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝______________，an＝______________.图1－1－7【解析】　依据图形特点可知当n＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2，3，4，5，6时各图形的特点归纳得an＝3n－3(n≥2，n∈N＋)．【答案】　15　3n－3(n≥2，n∈N＋)7．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4

5、)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．【解析】　由题意f(21)＝，f(22)>，f(23)>，f(24)>，故一般的结论为f(2n)≥.【答案】　f(2n)≥8．(2013·深圳高二检测)设函数f(x)＝(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.【解析】　依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1，3，7，15，…

6、，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2，4，8，16，…，故其通项公式为bn＝2n.所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.【答案】　三、解答题9．在△ABC中，不等式＋＋≥成立，在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立，在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中，其不等式为什么？【解】　不等式左边项数分别为3，4，5时，不等式右边的数依次为，，，其分子依次为32，42，52，分母依次为(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，故当不等式左边项数为n个时，归纳猜想右边应为(n≥3，n∈N*)，故所求为＋＋…＋

7、≥(n≥3，n∈N*)．10．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之．【解】　一般性的命题为sin2θ＋sin2(60°＋θ)＋sin2(120°＋θ)＝.证明如下：sin2θ＋sin2(60°＋θ)＋sin2(120°＋θ)＝＋＋＝－[cos2θ＋cos(120°＋2θ)＋cos(240°＋2θ)]＝－[2cos60°cos(60°＋