高考题汇集正弦定理和余弦定理

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1、.高考题汇集--正弦定理和余弦定理题组一正、余弦定理的简单应用1.(2009·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝(　　)A．2B．4＋2C．4－2D.－解析：如图所示．在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝4，∴b＝2.答案：A2．(2009·湖南高考)在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________，AC的取值范围为________．解析：由正弦定理得＝.即＝.∴＝2.∵△ABC是锐角三角形，∴0＜A＜，0＜2A＜，0＜π－3A

2、＜，解得＜A＜.由AC＝2cosA得AC的取值范围为(，)．答案：2　(，)3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.①又sinAcosC＝3cosAsinC，..sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，sinB＝4sinCcosA.由正弦定理得s

3、inB＝sinC，故b＝4ccosA.②由①、②解得b＝4.题组二利用正、余弦定理判断三角形的形状4.在△ABC中，sin2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC的形状为(　　)A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形解析：sin2＝＝，∴cosA＝＝⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．答案：B5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(　　)A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，即

4、C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)．由2sinAcosB＝sinC，得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.所以△ABC是等腰三角形．法二：利用正弦定理和余弦定理2sinAcosB＝sinC可化为2a·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形．答案：B..题组三三角形面积公式的应用6.在△ABC中，AB

5、＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积等于(　　)A.B.C.或D.或解析：由正弦定理知＝，∴sinC＝＝，∴C＝或，A＝或，∴S＝或.答案：D7．在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝(　　)A.B.C.D.解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA)，16(1－cosA)2＋cos2A＝1，∴cosA＝.答案：B8．(2009·北京高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cosA＝，b＝.

6、(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．解：(1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝，cosA＝，所以C＝－A，sinA＝.于是sinC＝sin(－A)＝cosA＋sinA＝.(2)由(1)知sinA＝，sinC＝...又因为B＝，b＝，所以在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.于是△ABC的面积S＝absinC＝×××＝.题组四正、余弦定理的综合应用9.在三角形ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为(　　)A．60°B．75°C．90°D．115°解析：不妨设a为最大

7、边．由题意，＝＝，即＝，∴＝，(3－)sinA＝(3＋)cosA，∴tanA＝2＋，∴A＝75°.答案：B10．(2010·长沙模拟)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，C＝60°，S△ABC＝8，则边长c＝______.解析：S△ABC＝absinC＝×4×b×＝8，∴b＝8.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝42＋82－2×4×8×＝48，∴c＝4.答案：411．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若

8、m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.解析：∵m⊥n，∴cosA－sinA＝0，..∴tanA＝，∴A＝.∵acosB＋bcosA＝csinC，∴sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，∴sin(A＋B)＝sin2C，∴sinC＝sin2C，∵sinC≠0，∴sinC＝1.∴C＝，∴B＝.答案：12．(2010·长郡模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，