《2.4向量的数量积》同步练习

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1、《2.4向量的数量积》同步练习情景切入前面我们学习过向量的加减法，实数与向量的乘法，知道a＋b，a－b，λa(λ∈R)仍是向量，大家自然要问：两个向量是否可以相乘？相乘后的结果是什么？是向量还是数？分层演练基础巩固1．i，j是互相垂直的单位向量，a是任一向量，则下列各式不成立的是(　　)A．a·a＝

2、a

3、2B．i·i＝1C．i·j＝0D．a·j＝a答案：D2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)A．－16B．－8C．8D．16解析：∵∠C＝90°，∴·＝0，∴·＝·＝2＋·＝16，故选D.答案：D3．已知

4、e1

5、＝

6、e2

7、＝1，e1，e2的夹角为60°，则(2e1－e2

8、)·(－3e1＋2e2)＝(　　)A．－1B．1C．－D．－解析：∵

9、e1

10、＝

11、e2

12、＝1，e1，e2的夹角为60°，∴(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋7e1·e2－2e＝－6＋－2＝－，故选C.答案：C4．若a∥b，a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)A．4B．3C．2D．0解析：∵a∥b，a⊥c，∴c·(a＋2b)＝c·a＋c·2b＝0＋0＝0，故选D.答案：D5．若O点为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为________．答案：等腰三角形6．已知A(－1，1)，B(1，2)，C，则·等于________．答案：7．设单位向量mbm⊥

13、b7.已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j(i，j为互相垂直的单位向量)，那么a·b等于________．答案：8．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于________．答案：9．已知△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，

14、a

15、＝3，

16、b

17、＝5，则a与b的夹角是________．答案：150°10．定义

18、a×b

19、＝

20、a

21、·

22、b

23、sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若

24、a

25、＝2，

26、b

27、＝5，a·b＝－6，求

28、a×b

29、.解析：∵a·b＝

30、a

31、

32、b

33、cosθ＝2×5×cosθ＝－6，∴cosθ＝－，又∵θ∈[0，π]，∴sinθ＝.∴

34、a×b

35、

36、＝

37、a

38、

39、b

40、sinθ＝2×5×＝8.能力提升11．已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是________．解析：由于(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以整理得又∵cosa，b＝＝＝，∴a与b成的夹角为.答案：12．已知

41、a

42、＝2

43、b

44、≠0，且关于x的方程x2＋

45、a

46、x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是________．解析：方程有实根，∴Δ＝

47、a

48、2－4a·b≥0，

49、a

50、2－4

51、a

52、·

53、b

54、cos〈a，b〉≥0，∴cos〈a，b〉≤，∴〈a，b〉∈.答案：13．已知a·b＝0，

55、a

56、＝2，

57、b

58、＝3，且(3a＋2b)⊥(ka－b

59、)，则实数k的值为________．解析：由(3a＋2b)·(ka－b)＝3k

60、a

61、2－3a·b＋2ka·b－2

62、b

63、2＝0得12k－18＝0，所以k＝.答案：14．已知

64、a

65、＝，

66、b

67、＝，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.解析：(λb－a)·a＝0，λ(a·b)－

68、a

69、2＝0，λ＝＝.答案：15．已知

70、a

71、＝13，

72、b

73、＝19，

74、a＋b

75、＝24，则

76、a－b

77、＝________.解析：∵

78、a

79、＝13，

80、b

81、＝19，∴

82、a＋b

83、2＝(a＋b)2＝a＋2a·b＋b2＝242，∴2a·b＝242－132－192＝46，∴

84、a－b

85、2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋

86、b2＝484，∴

87、a－b

88、＝22.答案：2216．已知

89、a

90、＝3，

91、b

92、＝5，

93、c

94、＝7，且a＋b＋c＝0，则a，b的夹角θ＝________.解析：∵

95、a

96、＝3，

97、b

98、＝5，

99、c

100、＝7，且a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴a2＋2a·b＋b2＝c2.∴9＋2×3×5×cosθ＋25＝49，∴cosθ＝，∴θ＝60°.答案：60°17．已知向量a，b，c两两所成的角相等且均为120°.且

101、a

102、＝2，

103、b

104、＝3，

105、c

106、＝1，求向量a＋b＋c的长度．解析：由已知向量a，b，c两两所成的角相等，均为120°，且

107、a

108、＝2，

109、b

110、＝3，

111、c

112、＝1.∴a·b＝

113、a

114、

115、b

116、cos120°＝－3，b·c＝

117、

118、b

119、

120、c

121、cos120°＝－，a·c＝

122、a

123、

124、c

125、cos120°＝－1.∴

126、a＋b＋c

127、2＝(a＋b＋c)2＝

128、a

129、2＋

130、b

131、2＋

132、c

133、2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝4＋9＋1－6－3－2＝3.∴

134、a＋b＋c

135、＝.18．已知a、b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时．(1)求t的值；(2)求证：b⊥(a＋tb)．(1)解析：

136、a＋tb

137、＝＝＝＝，当t＝－＝－时，

138、a＋tb

139、有最小值．故

140、a＋t