《3.1.3空间向量的数量积运算》同步练习1

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1、《3.1.3空间向量的数量积运算》同步练习1一、选择题(每小题6分，共36分)1．设a、b为空间的非零向量，下列各式：①a2＝

2、a

3、2；②＝；③(a·b)2＝a2·b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的个数为(　　)A．1　B．2C．3D．42．已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　)A．－6B．6C．3D．－33．设ABCD－A′B′C′D′是棱长为a的正方体，AC′和BD′相交于点O，则有(　　)A.

4、·＝2a2B.·＝a2C.·＝a2D.·＝a24．已知空间四边形ABCD各条边的长度相等，E是BC边的中点，那么(　　)A.·<·B.·＝·C.·>·D.·与·不能比较大小5．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定6．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)[A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题(每小题8分，共24分)7．已知空间向量a、b、

5、c满足a＋b＋c＝0，

6、a

7、＝3，

8、b

9、＝1，

10、c

11、＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．8．若·＝·，则________.9．已知

12、

13、＝5，

14、

15、＝2，〈，〉＝60°，＝2＋，＝－2，则以OC、OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为__________．三、解答题(共40分)图110．(10分)已知空间四边形ABCD，求·＋·＋·的值．11．(15分)BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与

16、AC所成的角．图2图312．(15分)如图3所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB，求证：P在面ABC上的射影H是△ABC的垂心．参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1．解析：由数量积的性质和运算律可知①④是正确的，故选B.答案：B2．解析：由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.故选B.答案：B3．解析：由·＝·＝(＋＋)·＝a2.答案：C4．答案：A5．解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋＝>0，∴cos∠DBC>0，∠DB

17、C为锐角，同理∠BDC，∠BCD为锐角．∴△BCD为锐角三角形．答案：B6．解析：设〈，〉＝θ，·＝(＋＋)·＝

18、

19、2＝1，∴cosθ＝＝，又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，故选C.答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)7．解析：∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.答案：－138．解析：·＝·，则·(－)＝·＝0.∴⊥.答案：⊥9．解析：∵＝＋，∴2＝(＋)2[＝(2＋＋－2)2＝(3－)2＝92＋2－6·＝9×25＋

20、4－6×5×2×cos60°＝199.∴OE＝.答案：三、解答题(共40分)图110．解：·＋·＋·＝·(－)＋(－)·－·(－)＝·－·＋·－·－·＋·＝0.[11．图2解：如图2所示．∵＝＋，＝＋，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·.因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴·＝0，·＝0，·＝0，·＝－a2.∴·＝－a2.又·＝

21、

22、·

23、

24、cos〈，〉，∴cos〈，〉＝＝－.∴〈，〉＝120°，∴异面直线BA1与AC成60°角．图312．证明：∵PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB，∴·＝0，·＝0，·＝0，⊥平面PB

25、C.∴·＝0.由题意可知，PH⊥面ABC，∴·＝0，·＝0，·＝0.∴·＝(－)·＝·－·＝0.∴AH⊥BC.同理可证BH⊥AC，CH⊥AB.∴H为△ABC的垂心．