《2.3.1 抛物线的定义与标准方程》教案

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1、《抛物线的定义与标准方程》教案一、教学目标1.知识教育点：使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．2.能力训练点：要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．3.学科渗透点：通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐

2、标系中曲线方程概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1.重点：抛物线的定义和标准方程．抛物线的几何性质及初步运用．解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．2.难点：抛物线的几何性质的应用．解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．3.疑点：抛物线的定义中需要加上“定点F不在定直线l上”的限制．抛物线的焦半径和焦点弦长公式．解决办法：引导学生证明并加以记忆．三、四种标准方程及几何性质的应用1.根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它

3、的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程；(3)焦点是F(3，0)，求它的标准方程；(4)焦点到准线的距离是2，求它的标准方程；2.抛物线y2=2px(p＞0)上一点M到焦点的距离是a(a＞)，点M到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？3.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0．4.根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点

4、，对称轴是y轴，并经过点P(-6，-3)．5.（1）求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．（2）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．6.焦半径：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．设P(x0，y0)为抛物线y2=2px上任一点，F（，0）是抛物线的焦点，则

5、PF

6、=x0+.7.由焦半径公式不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有

7、AB

8、=x1+x

9、2+p．特别地：当AB⊥x轴时，抛物线的通径

10、AB

11、=2p(详见课本习题)．例：过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与这条抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)，求证：y1y2=-p2，x1x2=p2/4.说明：涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线的方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．要求学生记忆．四、练习1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求

12、A

13、B

14、的值．2．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．3．在抛物线y2=12x上，求和焦点的距离等于9的点的坐标．4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px上，另一个顶点在原点，求这个三角形的边长．5．下图是某抛物线拱桥的示意图，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水下降11m后，水面宽多少？6．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切．7.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长（用p表示）8.在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的

15、两个不同动点A、B满足AO⊥BO.（1）（文、理共做）求△AOB的重心G的轨迹方程；（2）（理）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.9.正三角形AOB的顶点O位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线C：y2=2px（p>0）上，已知△AOB的周长为12,（1）求抛物线C的方程；（2）设M、N是抛物线C上除原点以外的两个动点，且OMON，OPMN，P为垂足，求点P的轨迹方程.