§8.3双曲线及其标准方程

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1、课题：§8.3双曲线及其标准方程勐海县景竜学校陈登和授课班级：高二文（1）班授课时数：第一课时●教学目标（一）教学知识点1、双曲线及其焦点、焦距的定义.2、双曲线的标准方程及其求法.3、双曲线中a、b、c之间的关系.（二）能力训练要求1、使学生掌握双曲线的定义.2、使学生掌握双曲线的标准方程及其推导方法.3、使学生理解怎样的双曲线，其方程为标准方程，双曲线的标准方程所表示的曲线，其图形有什么特征，并能根据双曲线的标准方程确定其焦点的位置.4、使学生掌握a、b、c之间的关系.（三）德育渗透目标使学生通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，双曲线标准方

2、程与椭圆标准方程的比较，双曲线与椭圆a、b、c关系的比较，掌握两种曲线的定义、标准方程及a、b、c关系的区别，并认识到比较法是认识事物，掌握其实质的一种有效方法.●教学重点1、双曲线的定义.2、双曲线的标准方程.3、双曲线中a、b、c之间的关系.●教学难点9双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组.●教学方法类比法、实验法和探究法.●教具足够长的拉链1条，图钉2个，木板1块，直尺1把●教学过程一、复习引入1、椭圆的定义是什么？平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于

3、F1F2

4、）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点.

5、两焦点的距离叫椭圆的焦距。2、椭圆的标准方程是什么？a、b、c三者间的关系怎样？你能根据椭圆的标准方程确定其焦点究竟在哪个坐标轴上吗？求椭圆标准方程的关键是什么？焦点在X坐标轴上：(a>b>0)，焦点在Y坐标轴上：(a>b>0)其中3、问题：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程又是怎样的呢？平面内与两个定点F1、F2的距离之差为非零常数的点的轨迹是什么曲线呢？二、讲授新课1、双曲线的定义（注意与椭圆比较）（1）绘图演示：将拉链拉开一部分,在拉开的两边上各选取一点,分别固定在,上,到的长为2a(a>0).把笔

6、尖放在处,,随着拉链逐渐拉开或闭拢，笔尖就画出一条曲线.问：这条曲线是满足什么条件的点的集合。答:9如果使点M到点F的距离减去到点F的距离所得差等于2a，就得到另一条曲线，这条曲线是满足下例条件的点的集合，即。名词：这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。（此时板书课题）上述演示中有几个关键的地方：1、=常数（=2a>0）2、=常数（=2c>0）3、ac时，则M的轨迹又是什么？（2）分析原理:通过演示，引导学生概括双曲线的定义.通常不太准确，问其他同学有不同意见吗？引导学生讨论.问题1：定

7、点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答，不能．强调“在平面内”．问题2:

8、MF1

9、与

10、MF2

11、哪个大？请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，

12、MF1

13、＞

14、MF2

15、；当点M在双曲线左支上时，

16、MF1

17、＜

18、MF2

19、．问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是

20、MF1

21、-

22、MF2

23、？请学生回答，不一定，也可以是

24、MF2

25、-

26、MF1

27、．正确表示为．问题4：这个常数是否会大于等于

28、F1F2

29、？请学生回答，应小于

30、F1F2

31、且大于零．当常数=

32、F1F2

33、时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞

34、F1F2

35、时，无轨迹．当常数

36、等于零，轨迹为线段F1F2的中垂线。9（3）归纳定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。数学简记：（）问：（1）只说“差”不行吗？为什么要加“绝对值”三个字呢？只说差表示双曲线的一支，加上“绝对值”三个字，才能表示完整双曲线。（2）可见双曲线有两支，丢掉任何一支都不是完整的双曲线，那么，双曲线的定义中为什么要强调常数——差的绝对值小于

37、F1F2

38、呢？如果差的绝对值即常数等于

39、F1F2

40、，那么图形为两条射线；如果差的绝对值

41、即常数大于

42、F1F2

43、，那么无轨迹.如果差的绝对值即常数等于零，那么图形为线段F1F2的中垂线。2、双曲线的标准方程由双曲线的定义，可以知道它的基本几何特征，但对于双曲线还具有哪些性质，我们还一无所知，所以仿照椭圆，我们需要求出双曲线的方程。（1）双曲线的标准方程的推导：①建系；②设点；③列式；④代换；⑤化简；根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程（引导学生回答，尽量发挥学生主动性，活跃课堂气愤。取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴设M（）为双曲线上的

44、任意一点，双曲线的焦距是2（）则，又设M与距离之差的绝对值等于2（常数），，,9（化简过程由学生扮演）化简，得：，由定义令代入，得：，设疑换元的目的？是为了表达形式