§25.3 解直角三角形

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1、§25.3解直角三角形二.重点、难点：1.重点：⑴掌握解直角三角形的方法．⑵掌握结合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．⑶解决现实问题数学化的问题，体会数形结合的思想．2.难点：⑴怎样将实际问题转化成数学问题．⑵掌握和运用仪器的操作方法，选择适当的关系或方法解决实际问题．⑶怎样从实体抽象出平面图形，同时又能从平面图形回想原来的实体．三.知识梳理：1.解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．说明：⑴三角形的每一个内角，每一条边都叫做一个元素．⑵除直角外，如果知道两个元素（其中至少一个是边），这个三角形就可以确定下来，故解直角三角形的题

2、目类型有：①已知一边一角（一直角边和一锐角；斜边和一锐角）；②已知两边（一直角边和一斜边；两直角边）．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．2.解直角三角形要用的关系⑴角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B＝90°；⑵边边关系：勾股定理，即；⑶边角关系：锐角三角函数，即．说明：⑴利用锐角之间的关系和勾股定理，已知一个锐角可求另一个锐角，已知两边的长可求出第三边的长．⑵已知一边和一角求另一边时，应选择合适的边角关系，计算边时可按“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”这几句话的意思是：当已知和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，

3、就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．3.解直角三角形的应用解直角三角形在实际中有广泛的应用，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，可以概括为以下几个方面：度量工作、工程建筑、测量距离等．要解决这些问题，首先要弄清仰角、坡度等名词术语的意义，其次要掌握解决这类问题的一般步骤．⑴仰角与俯角仰角：视线与水平线所成的角，视线在水平线上方的叫仰角．俯角：视线与水平线所成的角，视线在水平线下方的叫俯角．⑵坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示

4、．即i=，坡度一般写成1：m的形式，如i=1：5（或i=）．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度i与坡角α之间的关系：i==tanα，⑶在具体运用时，首先要将所遇到的实际问题“数学化”，即将实际问题抽象成“解直角三角形问题”，用数学语言来表达实际问题中各种数量的关系，并利用数学工具来解决问题，这个过程被称为“建模”．用解直角三角形的有关知识解实际应用题时，一般步骤是：①弄清有关仰角、俯角、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．②要认真分析题意，画出示意图并找出要求解的直角三角形．③将实际问题中的数量关系归纳为直角三角形中元素间的关系，再解这个直角三角形．④对求得的结果

5、需要检验时，可采用两种方法：一是验算两个锐角的和是否等于．二是利用勾股定理验算三边间是否符合a2+b2=c2的关系．4.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法把实际问题抽象成数学问题（解直角三角形），就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形（点、线、角等）以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念（如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等）的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，如没有特殊要求，边长保留四个有效数字，角

6、度精确到1′．【典型例题】例1.在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形．⑴c＝10，∠B＝45°，求a，b，∠A；⑵，求c，∠A，∠B分析：求解直角三角形的方法多种多样，如⑴可以先求a或b，也可以先求∠A，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据．解：⑴∠A＝90°－∠B＝45°⑵所以例2.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，，，求AC，AB，∠A，∠B（精确到1′）．分析：在Rt△ABC中，仅已知一条直角边BC的长，不能直接求解．注意到BC和CD在

7、同一个Rt△BCD中，因此可先解这个直角三角形．解：在Rt△BCD中用计算器求得∠B＝54°44′于是∠A＝90°－∠B＝35°16′在Rt△ABC中，例3.如图所示，在△ABC中，∠B=45°，AC=5，BC=3．求：sinA和AB．解析：转化是解直角三角形的关键，解斜三角形一般要通过辅助线把斜三角形转化为几个直角三角形．再解直角三角形．涉及到特殊角常常需把特殊角放在直角三角形中，因此需过C点作CD⊥AB，利用解直角三角形的知识即可解决．过C作CD⊥AB，D为垂足．在Rt△BCD中，∠B=45°，BC=3，∴DC