典型相关分析1

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1、四、典型相关分析基本思想Hotelling1936发表文章《两组变量之间的关系》首次提出。主成分思想，对每组变量进行综合，生成新的综合变量代表原始变量的大部分信息且与另一组变量生成的综合变量的相关程度最高，形成“第一对”典型相关变量。类似可以找到第二对、第三对典型相关变量使得各对典型相关变量直线不相关。模型(1)(2)用X来代表第一组的P个变量，X来代表第二组的q个变量。不妨假设pq。(1)(2)对于随机向量X，X令(1)(1)(1)E(X);Cov(X)11(2)(2)(2)E(X);Cov(X)22(1)(2)Cov(X,X

2、)1221X11(1)(1)XpXpX............,E(X)............(2)(2)Xp1Xp1Xpqpq(1)(1)(2)(2)(X)(X)X11X22X11X22XpppppqpqXpp(X11)(Xp1p1)(X11)(Xp2p2)(X

3、11)(Xpqpq)(X)(X)(X)(X)(X)(X)22p1p122p2p222pqpq(Xpp)(Xp1p1)(Xpp)(Xp2p2)(Xpp)(Xpqpq)1,p11,p21,pqE(X(1)(1))(X(2)(2))2,p12,p22,pqE(X)(X)12p,p1p,p2p,pq1,p12,p1p,p1

4、E(X(2)(2))(X(1)(1))1,p22,p2p,p221121,pq2,pqp,pq易证(X)(X)X11(1)(1)XX22(1)(1)(2)(2)XXX................[(X)(X)]1122pqpqX(2)(2)Xpqpq(1)(1)(1)(1)(1)(1)(2)(2)(X)(X)(X)(X)

5、(2)(2)(1)(1)(2)(2)(2)(2)(X)(X)(X)(X).111p1,p11,pq..p1ppp,p1p,pqE(X)(X).......................................................................p1,1p1p.p1,p1p1,pq.pq,1pq,p.pq,p1pq,pq

6、11122122(1)UaX(2)VbX(1)Var(U)Var(aX)aa11(2)Var(V)Var(bX)bb22(1)(2)Cov(U,V)aCov(X,X)bab12ab12maxCorr(U,V)aabb1122定义：第一对典型变量是具有单位方差的线性组合U和V的配对，它使两者的相关系11数最大；第二对典型变量是具有单位方差的线性组合U和V的配对，在与第一对典型变22量不相关的所有配对中，使两者的相关系数最大；……a112b1*maxCorr(U,V)111

7、aabb11111221(1)1/2(1)UaXeX11111此时(2)1/2(2)VbXfX11122ak12bk*maxCorr(U,V)kkkaabbk11kk22k(1)1/2(1)UaXeXkkk11此时(2)1/2(2)VbXfXkkk22****1/211/2其中是的特征值，123p11122221111/211/2也是前p个特征值。22211112221/211/2e,e,e,,e是的特征向量；

8、123p11122221111/211/2f,f,f,,f是前p个特征向量，123p222