2012浙江衢州中考数学试题解析

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2012年中考真题试卷2012年浙江省衢州市中考数学试卷　一、选择题：（本大题共10小题,每小题3分,共30分,请选出一个符号题意的正确的选项填涂在答题纸上,不选、多选、错选均不给分）1．下列四个数中,最小的数是（　　）　　A．2　　B．﹣2　　C．0　　D．﹣考点：有理数大小比较。专题：探究型。分析：根据有理数比较大小的法则进行比较即可．解答：∵2＞0,﹣2＜0,﹣＜0,∴可排除A、C,∵|﹣2|=2,|﹣|=,2＞,∴﹣2＜﹣．选B．点评：本题考查的是有理数的大小比较,熟知正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数,绝对值大的其值反而小是解答此题的关键．2．衢州市是国家优秀旅游城市,吸引了众多的海内外游客．据衢州市2011年国民经济和社会发展统计报显示,全年旅游总收入达121.04亿元．将121.04亿元用科学记数法可表示为（　　）　　A．12.104×109元　　B．12.104×1010元　　C．1.2104×1010元　　D．1.2104×1011元考点：科学记数法—表示较大的数。分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时,n是正数；当原数的绝对值＜1时,n是负数．解答：解：将121.04亿用科学记数法表示为：121.04亿元=12104000000元=1.2104×1010元,故选；C．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列计算正确的是（　　）　　A．2a2+a2=3a4　　B．a6÷a2=a3　　C．a6•a2=a12　　D．（﹣a6）2=a12考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。专题：计算题。分析：分别根据同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．点评：本题考查的是同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则,熟知以上知识是解答此题的关键．选D4．函数的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（　　）　　A．　　B．　　C．　　D．考点：在数轴上表示不等式的解集；函数自变量的取值范围。专题：计算题。分析：根据二次根式有意义的条件,计算出（x﹣1）的取值范围,再在数轴上表示即可．12 2012年中考真题试卷解答：∵中,x﹣1≥0,∴x≥1,故在数轴上表示为：选D．点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集,要注意,不等式的解集包括1．5．某中学篮球队13名队员的年龄情况如下：年龄（单位：岁）15161718人数3451则这个队队员年龄的中位数是（　　）　　A．15.5　　B．16　　C．16.5　　D．17考点：中位数。专题：常规题型。分析：根据中位数的定义,把13名同学按照年龄从小到大的顺序排列,找出第7名同学的年龄就是这个队队员年龄的中位数．解答：解：根据图表,第7名同学的年龄是16岁,所以,这个队队员年龄的中位数是16．故选B．点评：本题考查了中位数的定义,给定n个数据,按从小到大排序,如果n为奇数,位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数,位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据,都一定存在中位数的,但中位数不一定是这组数据量的数．6．如图,点A、B、C在⊙O上,∠ACB=30°,则sin∠AOB的值是（　　）A．　　B．　　C．　　D．考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值。分析：由点A、B、C在⊙O上,∠ACB=30°,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠AOB的度数,然后由特殊角的三角函数值,求得答案．解答：解：∵∠ACB=30°,∴∠AOB=2∠ACB=60°,∴sin∠AOB=sin60°=．故选C．点评：此题考查了圆周角定理与特殊角的三角函数值．此题比较简单,注意数形结合思想的应用,注意熟记特殊角的三角函数值．7．下列调查方式,你认为最合适的是（　　）A．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命,采用普查方式　　B．了解衢州市每天的流动人口数,采用抽查方式　　C．了解衢州市居民日平均用水量,采用普查方式　　D．旅客上飞机前的安检,采用抽样调查方式考点：全面调查与抽样调查。分析：根据抽样调查和全面调查的特点与意义,分别进行分析即可得出答案．解答：解：A．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命,应采用抽样调查方式,故此选项错误；B．了解衢州市每天的流动人口数,采用抽查方式；故此选项正确；C．了解衢州市居民日平均用水量,应采用抽样调查方式；故此选项错误；12 2012年中考真题试卷D．旅客上飞机前的安检,应采用全面调查方式；故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了全面调查与抽样调查的特点,用到的知识点为：破坏性较强的,涉及人数较多的调查要采用抽样调查．8．长方体的主视图、俯视图如图所示,则其左视图面积为（　　）A．3　　B．4　　C．12　　D．16考点：由三视图判断几何体。分析：根据物体的主视图与俯视图可以得出,物体的长与高以及长与宽,进而得出左视图面积=宽×高．解答：解：由主视图易得高为1,由俯视图易得宽为3．则左视图面积=1×3=3,故选：A．点评：此题主要考查了由三视图判断几何体的形状,利用主视图确定物体的长与高；俯视图确定物体的长与宽是解题关键．9．用圆心角为120°,半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示）,则这个纸帽的高是（　　）A．cm　　B．3cm　　C．4cm　　D．4cm考点：圆锥的计算。分析：利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；让扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径,利用勾股定理可得圆锥形筒的高．解答：解：L==4πcm；圆锥的底面半径为4π÷2π=2cm,∴这个圆锥形筒的高为=4cm．故选：C．点评：此题考查了圆锥的计算,用到的知识点为：圆锥侧面展开图的弧长=；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；圆锥的底面半径,母线长,高组成以母线长为斜边的直角三角形．10．已知二次函数y=﹣x2﹣7x+,若自变量x分别取x1,x2,x3,且0＜x1＜x2＜x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是（　　）　　A．y1＞y2＞y3　　B．y1＜y2＜y3　　C．y2＞y3＞y1　　D．y2＜y3＜y1考点：二次函数图象上点的坐标特征。分析：根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系,判断y1、y2、y3的大小关系．解答：解：∵二次函数y=﹣x2﹣7x+,∴此函数的对称轴为：x=﹣=﹣=﹣7,∵0＜x1＜x2＜x3,三点都在对称轴右侧,a＜0,∴对称轴右侧y随x的增大而减小,∴y1＞y2＞y3．故选：A．12 2012年中考真题试卷点评：此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性,利用二次函数的增减性解题时,利用对称轴得出是解题关键．二、填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在答题纸上．11．不等式2x﹣1＞x的解是　　．考点：解一元一次不等式。专题：计算题。分析：先去分母,再移项、合并同类项、化系数为1即可．点评：本题考查的是解一元一次不等式,熟知解一元一次不等式的步骤是解答此题的关键．答案为：x＞．12．试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式　　．考点：反比例函数的性质。专题：开放型。分析：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0,据此写出一个函数解析式即可．点评：本题考查了反比例函数的性质,要知道,对于反比例函数（k≠0）,（1）k＞0,反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0,反比例函数图象在第二、四象限内．答案为y=﹣,答案不为一．13．如图,“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏,游戏时,双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种,那么双方出现相同手势的概率P=　　．考点：列表法与树状图法。分析：首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与双方出现相同手势的情况,再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果,双方出现相同手势的有3种情况,∴双方出现相同手势的概率P=．故答案为：．点评：此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题比较简单,注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,注意概率=所求情况数与总情况数之比．12 2012年中考真题试卷14．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为　　mm．考点：垂径定理的应用；勾股定理。专题：探究型。分析：先求出钢珠的半径及OD的长,连接OA,过点O作OD⊥AB于点D,则AB=2AD,在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长,进而得出AB的长．解答：解：连接OA,过点O作OD⊥AB于点D,则AB=2AD,∵钢珠的直径是10mm,∴钢珠的半径是5mm,∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,∴OD=3mm,在Rt△AOD中,∵AD===4mm,∴AB=2AD=2×4=8mm．故答案为：8．点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键．15．如图,平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD=2DE．若△DEF的面积为a,则平行四边形ABCD的面积为　　（用a的代数式表示）．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。分析：由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,然后由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似,即可判定△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF,又由相似三角形面积的比等于相似比的平方,即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF,∴,,∵CD=2DE,∴DE：CE=1：3,DE：AB=1：2,∵S△DEF=a,∴S△CBE=9a,S△ABF=4a,∴S四边形BCDF=S△CEB﹣S△DEF=8a,∴S▱ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=8a+4a=12a．故答案为：12a．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题难度适中,注意数形结合思想的应用,注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．12 2012年中考真题试卷16．如图,已知函数y=2x和函数的图象交于A、B两点,过点A作AE⊥x轴于点E,若△AOE的面积为4,P是坐标平面上的点,且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形,则满足条件的P点坐标是　　．考点：反比例函数综合题。分析：先求出B、O、E的坐标,再根据平行四边形的性质画出图形,即可求出P点的坐标．解答：解：如图∵△AOE的面积为4,函数的图象过一、三象限,∴k=8,∵函数y=2x和函数的图象交于A、B两点,∴A、B两点的坐标是：（2,4）（﹣2,﹣4）,∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个,∴满足条件的P点有3个,分别为：P1（0,﹣4）,P2（﹣4,﹣4）,P3（4,4）．故答案为：P1（0,﹣4）,P2（﹣4,﹣4）,P3（4,4）．点评：此题考查了反比例函数综合,用到的知识点是反比例函数的性质、平行四边形的性质,关键是画图形把P点的所有情况都画出来．三、解答题：（本大题8小题,共66分．请将答案写在答题纸上,务必写出解答过程）．17．计算：|﹣2|+2﹣1﹣cos60°﹣（1﹣）0．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。分析：根据零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值的运算规律计算即可．解答：解：原式=2+﹣﹣1=2﹣1=1．点评：此题考查了实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值,属于基础题,解答本题的关键是熟练每部分的运算法则．18．先化简,再选取一个你喜欢的数代入求值．考点：分式的化简求值；有理数的混合运算。专题：计算题；开放型。分析：根据同分母分式加减法则,分母不变,分子相加,根据已知得出x≠1,取一个符合条件的数代入求出即可．12 2012年中考真题试卷解答：解：+=,∵x﹣1≠0,∴x≠1,取x=2代入得：原式==5．点评：本题考察了分式的加减法则和有理数的混合运算的应用,注意：取的x的值应是分式有意义,通过做此题培养了学生的计算能力．19．如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：探究型。分析：由四边形ABCD是平行四边形,即可得AB∥CD,AB=CD,然后利用平行线的性质,求得∠ABE=∠CDF,又由BE=DF,即可证得△ABE≌△CDF,继而可得AE=CF．解答：解：猜想：AE=CF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABE=∠CDF,在△ABE和△CDF中,,∴△ABE≌△CDF（SAS）,∴AE=CF．点评：此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．此题比较简单,注意掌握平行四边形的对边平行且相等,注意数形结合思想的应用．21．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,点O是AB上一点,⊙O过B、D两点,且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=10,BC=6,求⊙O的半径r．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质。分析：（1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线,只需证明AC⊥OD即可；（2）利用平行线截线段成比例推知=；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式,通过解方程即可求得r的值,即⊙O的半径r的值．解答：（1）证明：连接OD．∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∴∠ODB=∠DBC（等量代换）,∴OD∥BC（内错角相等,两直线平行）；又∵∠C=90°（已知）,∴∠ADO=90°（两直线平行,同位角相等）,∴AC⊥OD,即AC是⊙O的切线；12 2012年中考真题试卷（2）解：由（1）知,OD∥BC,∴=（平行线截线段成比例）,∴=,解得r=,即⊙O的半径r为．点评：本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点（即为半径）,再证垂直即可．22．在社会主义新农村建设中,衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造,并有甲工程队从A村向B村方向修筑,乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天,乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开,余下的任务有甲工程队单独完成,直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象,请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙工程队每天修公路多少米？（2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式．（3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工,需几天完成？考点：一次函数的应用。分析：（1）根据图形用乙工程队修公路的总路程除以天数,即可得出乙工程队每天修公路的米数；（2）根据函数的图象运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；（3）先求出该公路总长,再设出需要x天完成,根据题意列出方程组,求出x,即可得出该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工,需要的天数．解答：解：（1）由图得：720÷（9﹣3）=120（米）答：乙工程队每天修公路120米．（2）设y乙=kx+b,则,解得：,所以y乙=120x﹣360,当x=6时,y乙=360,设y甲=kx,则360=6k,k=60,所以y甲=60x；（3）当x=15时,y甲=900,所以该公路总长为：720+900=1620（米）,设需x天完成,由题意得：（120+60）x=1620,解得：x=9,（4）答：该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工,需9天完成．点评：此题考查一次函数的应用；数形结合得到所在函数解析式上的点及相关函数解析式是解决本题的突破点．12 2012年中考真题试卷23．课本中,把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开,如图1所示,所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠,使B点落在AD边上点F处,折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠,使C点落在AD边上点N处,折痕为DG（如图2乙）,此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙）,此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD,AB=1,BC=,问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．…考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质；图形的剪拼。专题：几何综合题。分析：（1）根据==2•==,得出矩形纸片ABEF也是标准纸；（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形,得出==,即可得出答案；（3）分别求出每一次对折后的周长,进而得出变化规律求出即可．解答：解：（1）是标准纸,理由如下：∵矩形ABCD是标准纸,∴=,由对开的含义知：AF=BC,∴==2•==,∴矩形纸片ABEF也是标准纸．（2）是标准纸,理由如下：设AB=CD=a,由图形折叠可知：DN=CD=DG=a,DG⊥EM,∵由图形折叠可知：△ABE≌△AFE,∴∠DAE=∠BAD=45°,∴△ADG是等腰直角三角形,∴在Rt△ADG中,AD==a,∴==,∴矩形纸片ABCD是一张标准纸；12 2012年中考真题试卷（3）对开次数：第一次,周长为：2（1+）=2+,第二次,周长为：2（+）=1+,第三次,周长为：2（+）=1+,第四次,周长为：2（+）=,第五次,周长为：2（+）=,第六次,周长为：2（+）=,…∴第5次对开后所得标准纸的周长是：,第2012次对开后所得标准纸的周长为：．点评：此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用,根据已知得出对开后所得标准纸的周长变化规律是解题关键．24．如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1,2）,过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在,求出此时点P的坐标；若不存在,请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上,且不与点C重合）,△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在,求出这个最大值；若不存在,请说明理由．考点：二次函数综合题。分析：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C,利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）根据等腰梯形的性质,确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系,得到一元二次方程,求出t的值,从而可解．结论：存在点P（,）,使得四边形ABPM为等腰梯形；（3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式,然后利用二次函数的极值求得S的最大值．解答中提供了三种求解面积S表达式的方法,殊途同归,可仔细体味．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C,可得c=0,∴,解得a=,b=,∴抛物线解析式为y=x2+x．12 2012年中考真题试卷（2）设点P的横坐标为t,∵PN∥CD,∴△OPN∽△OCD,可得PN=∴P（t,）,∵点M在抛物线上,∴M（t,t2+t）．如解答图1,过M点作MG⊥AB于G,过P点作PH⊥AB于H,AG=yA﹣yM=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2,BH=PN=．当AG=BH时,四边形ABPM为等腰梯形,∴t2﹣t+2=,化简得3t2﹣8t+4=0,解得t1=2（不合题意,舍去）,t2=,∴点P的坐标为（,）∴存在点P（,）,使得四边形ABPM为等腰梯形．（3）如解答图2,△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′,A′B′交x轴于T,交OC于Q,A′O′交x轴于K,交OC于R．求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3,可设点A′的横坐标为a,则点A′（a,﹣a+3）,易知△OQT∽△OCD,可得QT=,∴点Q的坐标为（a,）．解法一：设AB与OC相交于点J,∵△ARQ∽△AOJ,相似三角形对应高的比等于相似比,∴=∴HT===2﹣a,KT=A′T=（3﹣a）,A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0,∴在线段AC上存在点A′（,）,能使重叠部分面积S取到最大值,最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H,则由△ORH∽△OCD,得①由△RKH∽△A′O′B′,得②由①,②得KH=OH,OK=OH,KT=OT﹣OK=a﹣OH③由△A′KT∽△A′O′B′,得,则KT=④由③,④得=a﹣OH,即OH=2a﹣2,RH=a﹣1,所以点R的坐标为R（2a﹣2,a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0,∴在线段AC上存在点A′（,）,能使重叠部分面积S取到最大值,最大值为．解法三：12 2012年中考真题试卷∵AB=2,OB=1,∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=,∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+,∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣,过点R作RH⊥x轴于H,∵tan∠OAB=tan∠RKH==2,∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===,∴2RH=OK+KH=a﹣+RH,∴RH=a﹣1,OH=2（a﹣1）,∴点R坐标R（2a﹣2,a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（xQ﹣xR）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0,∴在线段AC上存在点A′（,）,能使重叠部分面积S取到最大值,最大值为．点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、等腰梯形、相似三角形、图形的平移以及几何图形面积的求法,涉及到的知识点众多,难度较大,对学生能力要求较高,有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力．12