《多边形的重心》课件

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1、多边形的重心方法討論─尋找重心的方法※方法一─鉛垂法〈做法〉假定有一塊如右圖所示般形狀不規則的木板，其重心在G點上。首先，用繩子穿過A點而將木板懸吊起來，木板就會如圖般往右移動，直至重心G點在A點的正下方才穩定下來。此時，如果我們從A點畫一條鉛垂線，G點必在這條鉛垂線上。同樣的我們把繩子穿過B點而將木板懸吊起來，等到木板穩定下來，自B點引一條鉛垂線，重心G仍會在這條鉛垂線上。由A、B二點分別所畫的鉛垂線的交點，正是這塊木板的重心G。〈分析〉不管是什麼樣的形狀，這個方法都適用。因為不管是通過A點或B點的鉛垂線，當此木板在懸吊並達到平衡(也就是不會晃動)時，鉛垂線左右的重量必相

2、同，才可達到平衡。而由A、B兩點所做的兩條鉛垂線的交點，可使兩組被鉛垂線切成兩塊的木板都達到平衡。因此交點G便是此木板的重心─頂著它可以達到平衡的點。這是個較偏向理化做法的方式。※方法二─三角形的重心〈做法〉任兩中線(連三角形任一邊的中點至對頂點的線段)的交點，即為此三角形之重心。〈分析〉一中線可以平分此三角形的面積(等底同高)，若此三角形是一張紙，厚度忽略不計，則中線也可平分重量。因此，兩中線的交點便是重量的平衡點─重心。p.s課內教材，不再多說※方法三─正多邊形及圓形的重心〈做法〉正多邊形─取兩條線對稱軸的交點(奇數邊形之對稱軸為點與對邊中點的連線；偶數邊形的對稱軸為點與對點的連線)，即

3、為重心。圓形─圓心即為重心。〈分析〉正多邊形的線對稱軸便是面積平分線，也就是質量平分線；圓形亦同。(同上)→感覺上，似乎在平面圖形上找出兩條可平分面積(質量)的線，在找出其交點即可找到重心。方法展示在參考過以上的重心找法後，我們試著自己用尺規作圖找出多邊形的重心，以下是我們的討論：§四邊形1.長方形、菱形、正方形、平行四邊形的重心均是兩對角線的交點。2.任意四邊形(包括鳶形、梯形)：《分割法》連一條對角線將其切成兩個三角形，分別找出重心，連兩重心之線段(以下我們在本文均統稱為「重心線」)；再連另外一條對角線，畫出兩個不同於上一次的三角形，也分別找出兩個三角形的重心，連重心線。則此兩條重心線會

4、交於一點，此點即為重心。【分析一】重心，可視為此圖形的質量中心(p.s重心又稱為「質心」)，因此，在作第一條三角形重心連線時，我們可以確定此四邊形的重心一定會在此線段上。利用同樣的思考再換個方向做一次，則重心會同時在這兩條重心線上，即為兩重心線的交點。﹝例一﹞以圖一四邊形ABCD中，求做重心：1.先連BD，得∆ABD、∆CBD2.分別作∆ABD、∆CBD之重心g1、g23.同理，連AC作出∆ACD、∆ACB之重心g3、g44.直線g1g2與直線g3g4之交點即為四邊形ABCD之重心(圖一)《槓桿法》連一條對角線將其切成兩個三角形，並分別畫出它們的高及重心。連兩重心線段，以高的反比平分此線段

5、，則平分點即為重心。【分析二】這用到了理化的槓桿原理：重量1X臂長1=重量2X臂長2。用對角線切出來的三角形，它們有同底的性質，所以面積比就會等於高的比；而面積比又會等於其質量比，因此，兩個三角形的重心連線，就可以視為一個槓桿；而這個槓桿的兩端─也就是兩三角形的重心，就可以視為兩三角形的質量中心。又兩三角形的高的比等於面積比等於質量比，則若兩三角形的高之比為a：b，則兩個三角形的質量比也就是a：b。而重心是整個四邊形的平衡點，就相當於槓桿上的支點一樣。所以，綜合上面的比例，我們不難了解：兩三角形重心的連線─也就是整支槓桿─，必須以b：a(a：b的反比)的比例來分，配合上兩端質量a：b，才可以

6、符合槓桿原理：重量1X臂長1=重量2X臂長2。﹝例二﹞以圖二中之四邊形ABCD：1.連AC得∆BAC、∆DAC2.作∆ACD、∆ABC之重心g1、g23.作DF⊥AC於F，BE⊥AC於E4.在g1g2上運用「平行線裁等比例線段」的性質(取g2D’=DF，D’B’=BE，連g1B’再過D’做一直線平行於g1B’交g1g2於G，則g2G：Gg1=DF：BE)，畫出G點即為四邊形ABCD之重心圖二§任意五邊形《分割法》連一條對角線，將其切成一個四邊形及一個三角形。分別用以上的方法找出重心後連線；再換另外一條對角線，再畫出一條兩重心連線，則此兩線段的交點即是此五邊形的重心。【分析一】此想法與四

7、邊形類似，只是邊數增加，畫起圖來比較複雜。﹝例一﹞在圖三的五邊形ACBDE中：1.連EC，得∆EDC及四邊形ABEC2.分別作∆EDC及四邊形ABEC的重心g1、g23.同理，連AD做∆AED及四邊形ABCD的重心g3、g44.連g1g2、g3g4，則兩線段交點即為五邊形ACBDE的重心G圖三《槓桿法》連一條對角線，將此五邊形切成一個三角形與一個四邊形，分別找出重心並做一重心線。利用四邊形做法二的想法，