2009年全国中考数学压轴题精选精析(二)

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1、2009年全国中考数学压轴题精选精析（二）13.（09年广东茂名）25．（本题满分10分）已知：如图，直线：经过点一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：（为正整数），设（1）求的值；（2分）（2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示）（4分）（3）定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值．（4分）（第25题图）yOMxn

2、l123…（09年广东茂名25题解析）解：（1）∵在上，∴，∴．2分（2）由（1）得：，∵在上，∴当时，，∴．3分解法一：∴设抛物线表达式为：，4分又∵，∴，∴，∴，5分∴经过点的抛物线的解析式为：．6分解法二：∵，∴，，∴设，4分把代入：，得，5分∴抛物线的解析式为．6分（3）存在美丽抛物线．7分由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵，∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛

3、物线的顶点的纵坐标必小于1．∵当时，，当时，，当时，，yOMxnl123…∴美丽抛物线的顶点只有．8分①若为顶点，由，则；9分②若为顶点，由，则，综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线．10分14.（09年广东梅州）23．本题满分11分．（提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形）如图12，已知直线过点和，是轴正半轴上的动点，的垂直平分线交于点，交轴于点．（1）直接写出直线的解析式；（2）设，的面积为，求关于t的函数关系式；并求出当时，的最大值；（3）直线过点且与轴平行，问在上是否存

4、在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．LAOMPBxyL1图12Q（09年广东梅州23题解析）（1）2分（2）∵，∴点的横坐标为，①当，即时，，∴．3分②当时，，∴．∴4分当，即时，，∴当时，有最大值．6分（3）由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴，则，两点关于直线对称，所以，得．7分LAOPBxyL123题图-1QC下证．连，则四边形是正方形．法一：（i）当点在线段上，在线段上（与不重合）

5、时，如图–1．由对称性，得，∴，∴．8分（ii）当点在线段的延长线上，在线段上时，如图–2，如图–3∵，∴．9分（iii）当点与点重合时，显然．综合（i）（ii）（iii），．yLAOPBxL123题图-3QC21∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．11分LAOPBxL123题图-2QC21y法二：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴，则，两点关于直线对称，所以，得．7分延长与交于点．（i）如图–4，当点在线段上（与不重合）时，∵四边

6、形是正方形，∴四边形和四边形都是矩形，和都是等腰直角三角形．∴．LAOPBxyL123题图-1QC又∵，∴，∴，∴，又∵，∴．∴．8分（ii）当点与点重合时，显然．9分（iii）在线段的延长线上时，如图–5，∵，∠1=∠2∴综合（i）（ii）（iii），．∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．11分23题图-4LAOMPBxyL1QCNyLAOPBxL123题图-5QC21法三：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴，则，O两点关于直线对

7、称，所以，得．9分连，∵，，，∴，．∴，∴．10分∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．11分15.（09年广东清远）28．如图9，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为．BCNMA图9（1）请你用含的代数式表示．（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？（09年广东清远28题解析）解：（1）3分（2）的边上的高为，当点落在四边形内或

8、边上时，=（0）4分MNCBEFAA1当落在四边形外时，如下图，设的边上的高为，则所以6分综上所述：当时，，取，当时，，取，NDACDBM第24题图当时，最大，8分16.（09年广东汕头）24．（本题满分12分）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求的值．（09年广东汕头24题解析）