2009-魔方和数学建模-4

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1、魔方和数学建模5魔方和晶体学符号魔方具有晶体的本质特征—对称性和周期性，因此，晶体学的空间符号可以描述魔方。3.3.1晶向指数在晶体学中，线和面的方向一般使用三个数表示，被称为晶向指数。简单而言，晶向指数可以用一个矢量在坐标轴上的三个分量来表示。如图3.15，立方体的边长等于2个单位，图中A、B、C点和O点构成的矢量为：，，(3-1)式中i、j、k分别为沿X、Y、Z轴的单位矢量。将式(3-1)用矢量的投影分量来表示，就是，，(3-2)图3.15晶体学方向的表示晶体学中把用式(3-2)所表示的方向称为晶向，并把括

2、弧中的数字称为晶向指数。3.3.2魔方的方向指数借助晶向指数概念来描述魔方，既简洁又方便。前面曾定义过角块、边块和心块的特征点。过魔方中心到特征点的向量就是魔方小块的特征向量，特征向量在坐标轴的三个分量就是该小块的方向指数，称为魔方的方向指数。如图3.16所示，在魔方的各特征点都标出了该小块的方向指数。图3.16魔方的方向指数如果图3.16中的魔方是一个标准魔方，则可以给出魔方各小块的特征名称和方向指数，而且小块的特征名称和方向指数一一对应。（1）心块的特征名称和方向指数R，Y，W，G，B，S。（2）角块的特征

3、名称和方向指数RYW，RYS，GYW，GYS，GBW，GBS，RBW，RBS。（3）边块的特征名称和方向指数RW，GB，YW，RB，GW，RS，BW，YS，RY，GS，GY，BS。晶体学把具有相同对称性的晶向指数称为晶向族，并且用<>表示。对于魔方，小块的类型就是对称性的标志，因此，小块的名称便自然地定义了方向族的概念。例如，心块的6个方向指数构成一族，表示为<001>；角块的8个方向指数构成一族，表示为<111>；边块的12个方向指数构成一族，表示为<110>。魔方方向指数巧妙地描述了小块在魔方中所处的空间位

4、置。魔方方向指数在描述魔方的对称性时也是非常有用的。3.3.3魔方的对称性（a）（b）（c）图3.17转动对称性我们这里讨论的对称性，是魔方的整体旋转对称性。如图3.17所示的图形，它们都是平行于纸面的平面图，其转轴位于O点并垂直纸面。图(a)可以绕转轴转动90°180°270°、360°，而不改变图形的轮廓坐标。同样，图(b)可绕转轴转动180°、360°，图(c)可绕转轴转动120°、240°、360°。这种绕转轴转动一定角度后和原来完全重复(轮廓坐标)的性质称为转动对称性。我们把这种转动称为对称操作。图(

5、a)、图(b)、图(c)的最小转角分别为90°、180°、120°。由于360°/90°=4，360°/180°=2，360°/120°=3，因此，我们称图(a)具有四次对称性，图(b)具有二次对称性，图(c)具有三次对称性。魔方的整体对称性与小块的色面特征有一种巧妙的对应关系。首先，魔方具有整体转动对称性。、、是魔方的四次转动轴，、、、、、是魔方的二次转动轴，、、、是魔方的三次转动轴。如图3.18所示，四次轴用表示，二次轴用表示，三次轴用表示。图3.18魔方的对称轴其次，魔方小块可以表征魔方所具有的对称性。角

6、块具有三个色面，这三个色面可借助角块的方向指数通过转动而交换位置，每交换一次要转120°，因此，我们称角块具有三次色面对称性。边块具有两个色面，这两个色面每交换一次位置边块要转180°，我们称边块具有二次色面对称性。心块虽然有这种对称性，但是对魔方的状态没有影响。3.3.4魔方转动的周期性魔方的任一操作序列，都是某一循环谱中的一段谱（见第七章）。因此，按任一操作序列去转动魔方，魔方态必然形成一个封闭的循环。例如，按W操作魔方，四转之后魔方复原，即WWWW=W4=I，构成一个循环。又如，按WR操作魔方，210转之

7、后，魔方复原，即WRWRWR……WR=(WR)210=I，构成一个循环。还可以举出更多的例子。可以肯定地讲，循环和周期是分不开的。魔方转动的循环特点，反映了魔方转动周期性的特点。魔方转动的周期性是与魔方的对称性有本质的联系。正是魔方的对称性导致魔方转动的周期性。如，4转循环W4中，循环周期为4；210转循环(WR)105=I中，循环周期为105。本章所定义的转动魔方的右手规则和左手规则，暗示操作魔方时需要用左手和右手。扭转是手生来就能乐于做的一种基本的运动，并且能赋予头脑一种真正的三维的锻炼。§8.1魔方的阶和

8、方向指数对于三阶魔方（见第三章），魔方的方向指数可以唯一地描述魔方所有小块的空间方位。，，，，，定义了6个心块；，，，，，，，定义了8个角块；，，，，，，，，，，，定义了12个边块。26个方向指数一一对应于魔方的26个小块，这就定义了这个魔方是的。对于四阶和五阶魔方，方向指数的概念仍然适用，而且同样一一对应地描述了魔方的所有小块。8.1.1四阶魔方四阶魔方有16个可转动层，共有56个小