2009-数学建模在线性代数中应用案例

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1、万方数据第27卷第2期2()09年4月江西JIANGXI科学SCIENCEV01．27No．2Apr．2009文章编号：1001—3679(20019)02—0188一05数学建模在线性代数中应用案例黄炜(宝鸡职业技术学院基础部，陕西宝鸡721013)摘要：本文给出了线性方程组的分类以及在交通流量、人口预测等方面的应用。促进工程数学与实际问题的融合，并用MATLAB给出了解法，印证了数学的广泛应用性。关键词：数学建模；线性方程；案例分析；MATLAB求解中图分类号：G642文献标识码：AMathematicsModeUinginLinearAlgebraApplic

2、ationCaseHUANGWei(Depanmentof鲫theB够i8，BaojiVocational卸d‰hnicalcouege，sh蛐】【iBaoji721013PRc)Abstract：Inthispaper，linearequations，鹪wenastlleclasSiEcationofthetra商cnow，populationprojectionsand∞ontheapplicationofma山ematicsaIldworkstopromotethepmcticalproble眦ofintegrationandunderstandingofth

3、elaw舀VenbyMATLAB，confi咖sthewidespreadapplicationofmathematics。Keywords：Mathematicalmodeling，“nearequations，Casestudies，MA’ⅡABsolutionO前言驱动，思索，研讨，做结论㈨。在现代经济社会，信息高速发展，数学与应用数学的应用取得巨大成功，数学已直接应用于工程技术、生产活动、医药卫生人口、经济、交通、环境等等领域⋯，几乎渗透到了每一个领域和学科，发挥了实质性的作用，要求每个公民都能具备一定的数学应用意识和能力。本文给出线性方程组的分类及其在交通

4、管理、中国人口预测方面几个案例应用，主要如下这几个方面：(1)问题分析与数学模型，结合实际、生活中问题与例子，启发人们用数学的的眼光看问题，数学的思考问题；(2)程序和计算结果，利用MA7眦B计算平台，使繁难的计算变得“可视化”、简单化、清晰化，计算结果变得生动鲜活拉1；(3)问题解答，依据数学理论，对结果给出分析，得到规律，指导实际。问题1线性方程组的分类根据实际情况可将线性方程组分为三类：适定方程组、欠定方程组和超定方程组。当方程组中实际的方程数等于未知数个数时，这一类方程组称为适定方程组。如果其系数矩阵可逆，适定方程组有唯一的解。求解适定方程组的方法有克莱姆方

5、法、消元法、矩阵分解法、迭代法等。当方程组中实际的方程数少于未知数个数时，这一类方程组称为欠定方程组。当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，不定方程组有无穷多组解。根据线性代数的理论和方法，可求得方程组的通解。当方程组中实际的方程数多于实际的未知数个数时，这一类方程组称为超定方程组。收稿日期：2008一12一lO；修订日期：2009—02—26作者简介：黄炜(196l一)，男，陕西岐山人，副教授，研究方向：代数。万方数据第2期黄炜：数学建模在线性代数中应用案例·189·超定方程组没有准确解，但可以求广义解，例如超定方程组的最小二乘解。’时下，在很多大城市不时听到人们的抱

6、怨交通拥挤：高峰期塞车，这也是不少城市的头痛问题，下面给出交通拥挤的数学解释2交通流量问题设下面交通网络图，均为单向行驶，且不能停车，通行方向用箭头表明，图中所示的数字为高峰期每小时进出网络的车辆数，进人网络的车辆等于离开网络的车辆，另进入每个节点的的车辆等于离开节点的车辆。案例l：设1个“井”字性公路环网，均为单向行驶，8个街道路口的车流量有数据记录，已知在8个街道路口的车辆数目如图l所示，试问茗。，茗：，菇，，礼路段上的车辆数目是多少?’●●’●1r翱JL500．BAJ1乱JL1r≈LCLDL6007r，，，JL1r4，O550图l2．1问题分析与数学模型在图l

7、中的任何一个路口(十字路口或丁字路口)处，都有车辆流进和流出。当一天结束后，流进的车辆数和流出的车辆数应该相等以达到平衡。在每一个路口处可根据进出的车流量相等关系，建立一个线性代数方程。图l中有4个路口，可建立含4个方程的线性方程组。问题的答案应该是在所列的线性方程组一髫2=一150一菇3=一150一轧=150一茗．=150显然，在这一方程组中，未知数个数等于方程的个数，是适定方程组。所以，当方程组的系数矩阵A的秩与增广矩阵[A6]的秩相等时，该问题有解。’2．2程序和计算结果在MATLAB环境中，首先输入方程组的系数矩阵A和方程组右端向量6A=[1—1oo；o