《2.2.1球的切线与切平面》课件3

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1、2.2.1球的切线与切平面1.球的切线我们已学习过直线与圆的三种位置关系，分别是相交、相切、相离，如下图(1)、(2)、(3)所示：OAB(1)OAl(2)Ol(3)切线主要有五个性质：切线和圆只有一个公共点；切线和圆心的距离等于圆的半径；切线垂直于经过切点的半径；经过圆心垂直于切线的直线必过切点；经过切点垂直于切线的直线必过圆心；通常，在判定直线是否是圆的切线时，我们可以根据切线的定义，但更常用的是切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OAl同样，在判定球的切线时，也拥有类似的定理.如

2、图，以点O为球心，r为半径的球记为O(O，r).过该球的任一条半径OM外端M，作OM的垂线MN，容易证明OM与球O只有唯一公共点M.rOPABMN球的切线定义——与球只有唯一公共点的直线叫做球的切线.rOlM同圆的切线类似，球的切线也具有以下性质：球的切线垂直于过切点的半径rOlM如果球的切线通过一点P，切点为A，那么就称线段PA的长为从点P引的球的切线长.球的切线长具有以下性质：从球外任何一点引该球的所有切线长相等.rOPAB如图，PA、PB为从点P引到球O的切线，则PA=PB.2.球的切平面如图所示，过球O的一

3、条半径OM的外端M，作与OM垂直的平面，则容易证明平面与球O只有唯一的公共点M.定义与球只有唯一公共点的平面叫做球的切平面.可以证明：一个球的切平面，垂直于过切点的半径.事实上，如果在切平面内，过切点任意作两条直线，则这两条直线都是球的切线.根据球的切线的性质，这两条直线垂直于过切点的半径，所以切平面垂直于过切点的半径.教材习题答案已知：OM是球O(O，r)的一条半径，直线l过点M，并l⊥OM.求证：l与球O只有唯一公共点M.证明：如图，设点N是l上不同于点M的任意一点，则OM，ON确定一个平面，且△OMN=90°

4、，ON>OM=r，于是N在球O外，所以l与球O只有唯一公共点.OlMN2.已知：OM是球O(O，r)的一条半径，平面过点M，且OM⊥.求证：平面与球O只有唯一公共点M.证明：如图，设点N是平面内不同于点M的任一点，因为OM⊥，所以在RT△OMN中，ON>OM=r，所以N点在球O外，所以平面与球O只有唯一公共点M.OMN3.(1)球的切线垂直于过且点的半径.已知：直线l是球O(O，r)的切线，A为切点.求证：OA⊥l证明：如图，假设l不与OA垂直，取l与O确定的圆面，在此中作OB⊥l于B，则以OB为对称轴，点A应有一

5、个对称点A′在l上，则OA′=OA=r所以点A′也在球O上.这样l就和球O有两个公共点了，这与l与球O相切矛盾.所以假设不成立，因此OA⊥llOAB图(1)OAP图(2)(2)从球外任意一点引该球的所有切线长相等.如图，A为切点，P为求O(O，r)外任意一点，PA为球O的任一条切线，则PA与O确定一个平面，在RT△PAO中，当P为定值时，则PO为定值，则PA不变，因此从球外任一点引该球的所有切线长相等.谢谢观看！