2010中考数学压轴题详解1

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1、2010中考数学压轴题详解1.（09年福建龙岩）26．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q.问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.（09年福建龙岩26题解析）解：（1）∵四边

2、形OBHC为矩形，∴CD∥AB，又D（5，2），∴C（0，2）OC=2.∴解得∴抛物线的解析式为：（2）点E落在抛物线上.理由如下：由y=0，得.解得x1=1，x2=4.∴A（4，0），B（1，0）.∴OA=4，OB=1.由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，∴点E的坐标为（3，－1）.把x=3代入，得，∴点E在抛物线上.（3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1.S梯形BCGF=5，S梯形ADGF=3

3、，记S梯形BCQP=S1，S梯形ADQP=S2，下面分两种情形：①当S1∶S2=1∶3时，，此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF=3－a，由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－3a，∴CQ=3－(9－3a)=3a－6由S1=2，得，解得；②当S1∶S2=3∶1时，此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF=a－3，由△EPF∽△EQG，得QG=3a－9，∴CQ=3+（3a－9）=3a－6，由S1=6，得，解得.综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）法二：存在点P（a，0）.记S梯形BCQP=S1，S梯形ADQP=S2，易求S梯

4、形ABCD=8当PQ经过点F（3，0）时，易求S1=5，S2=3，此时S1∶S2不符合条件，故a≠3.设直线PQ的解析式为y=kx+b(k≠0)，则，解得，∴.由y=2得x=3a－6，∴Q（3a－6，2）∴CQ=3a－6，BP=a－1，.下面分两种情形：①当S1∶S2=1∶3时，=2；∴4a－7=2，解得；②当S1∶S2=3∶1时，；∴4a－7=6，解得；[综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）2.（09年福建宁德）26．（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横

5、坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．yxAOBPM图1C1C2C3图（1）yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）yxAOBPN图(2)C1C4QEFHGK（

6、09年福建宁德26题解析）解：（1）由抛物线C1：得顶点P的为（-2，-5）∵点B（1，0）在抛物线C1上∴解得，a＝（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G∵点P、M关于点B成中心对称∴PM过点B，且PB＝MB∴△PBH≌△MBG∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3∴顶点M的坐标为（4，5）抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到∴抛物线C3的表达式为（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到∴顶点N、P关于点Q成中心对称由（2）得点N的纵坐标为5设点N坐标为（m，5）作PH⊥x轴于H，作N

7、G⊥x轴于G作PK⊥NG于K∵旋转中心Q在x轴上∴EF＝AB＝2BH＝6∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50NF2＝52+32＝34①当∠PNF＝90º时，PN2+NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）②当∠PFN＝90º时，PF2+NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶

8、点的三角形是直角三角形．………13分3.（09年福建莆田）25．（14分）已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．（1）求点的坐标；EDCAFBxOylEDC