2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解

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1、2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设，求的零点个数（）0123解：分析：令，则可得零点的个数为3.（2）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（）曲边梯形面积.梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积.解：分析：，其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形的面积。（3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（）....解：.分析；由可知其特征根为.故对应的特征方程为，即所以所求微分方程为,选.（4）判断函数间断

2、点的情况()有1个可去间断点，1个跳跃间断点有1个跳跃间断点，1个无穷间断点有两个无穷间断点有两个跳跃间断点解：分析：的间断点为，而，故是可去间断点；，，故是跳跃间断点故选。（5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（）若收敛，则收敛.若单调，则收敛.若收敛，则收敛.若单调，则收敛.解：分析：若单调，则由在内单调有界知，单调有界，因此收敛,应选.（6）设连续，，，，则，则（）解：选A分析；用极坐标得（7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵.若，则（）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆.解：分析：，故均可逆。（8）设，则在实数域上与合同的矩阵为（）.

3、...解：分析：则。记，则则二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）连续，，则解：分析：，由连续，则（10）曲线在点处的切线方程为.解：.分析：设，斜率，在处，，所以切线方程为，即（11）求函数的拐点______________.解：分析：，令，得，而时，左右两边不变号，故不是拐点，时，二阶导数不存在且左右两边正负号改变，故是拐点。（12）已知，则.解：分析；令，从而，对方程两边去对数得，对改方程两边对求导，所以，（13）矩阵的特征值是，其中未知，且=-48，则=_______.解：=-1分析：由矩阵特征值与矩阵行列式之间的关

4、系得，，故=-1（14）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为.解：1分析：记可逆，故与有相同的特征值，，故非零的特征值为1。三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限.解：(17)（本题满分10分）求积分解：分析：令，则(18)（本题满分10分）求函数在在约束条件和下的最大和最小值.解：设得方程组即，解得或得..(19)（本题满分10分）曲线满足对于任意的曲线是严格递增，在轴上，该曲线与直线及围成一曲边梯形.该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为,

5、侧面积为.如果二阶可导,且，求曲线.解：旋转体体积旋转体的侧面积由两边求导，得从而，得.所以特征方程为，特征根为.则通解为.由，得.所以.故该曲线方程为(20)（本题满分11分）求二重积分其中解：分析：（21）（本题满分11分）证明(1)积分中值定理；(2)已知在上连续且可导，证明至少存在一点，.证明：(1)定积分中值定理：如果函数在积分区间上连续，则在上至少存在一个点，使下式成立：设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则不等式各除以，得.这表明，确定的数介于函数的最小值及最大值之间.根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得函数在点处的值与这个确定的数值

6、相等，即应有两端各乘以，即得所要证的等式.（2）证明：由积分中值定理，则至少存在一点，使得，由题得若，则由罗尔定理存在点，使得；若，不妨设，由连续与介值定理存在点，使，在区间上应用罗尔定理，存在点，使得；若，同理可得存在点，.证毕（22）（本题满分11分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，（1）求证（2）为何值，方程组有唯一解，求（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解解：①②方程组有唯一解由，知，又，故。记，由克莱姆法则知，③方程组有无穷多解由，有，则故的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。又，故可取特解为所以的通解为为任意常数。（23）（本题满分11分）设为3阶矩阵

7、，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，证明（1）线性无关；（2）令，求解：（1）假设线性相关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零（若同时为0，则为0，由可知）又，整理得：则线性相关，矛盾（因为分别属于不同特征值得特征向量，故线性无关）.故：线性无关.（2）记则可逆，即：.