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《全国硕士研究生入学统一考试数学二试题分析及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、2007年全国硕士入学统考数学(二)试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）当→时，与等价的无穷小量是(A) . (B) (C).(D).[Ｂ ]【分析】～ ～ ～ 因此选（Ｂ）（2）函数在上的第一类间断点是(A) 0.(B) 1(C).(D).[A ]【分析】的第一类间断点。选（A）。（3）如图,连续函数在区间[－3,－2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[－2，0]，[0，2]的图形分别是
2、直径为2的上、下半圆周。设，则下列结论正确的是（A）13(B)(C)(D)[C]【分析】注意，大、小半圆的面积分别为与。按定积分的几何意义知，当时，当时。因为为奇函数为偶函数。因此选（C）（4）设函数在x=0处连续，下列命题错误的是(A)若存在，则(B)若存在，则(C)若存在，则存在(D)若存在，则存.[D]【分析】设，则存在，但不存在因此（D）是错误的。选（D）。(5)曲线渐进线的条数为(A)０. (B)１. (C)２.(D)３.【分析】只有间断点．由于故为垂直渐进线.13又故时有水平渐进线又故时有渐进线因此选(D).（6）设函数在（0，+
3、∞）上具有二阶的导数，且令，则下列结论正确的是(A)若则必收敛。(B)若则必发散。(C)若则必收敛。(D)若则必发散。[D]【分析】由单调上升。只有以下三种情况：（1）在（0，）↘，在↗,又时（2）对所有↗且（3）对↘，则或。如，↘，13又如，↘但不正确由（1），（2）（C）不正确，而（D）正确。因此，选（D）。（7）二元函数在点(0,0)处可微的一个充分条件是(A). (B). (C)(D).[C]【分析】按可微性定义，在(0,0)可微其中A，B是与无关的常数。题中（C）即A=B=0的情形。因此由（C）在(0,0)可微，因此选（C）。（8）
4、设函数连续,则二次积分等于(A) (B)(C).(D)[B]【分析】这是交换积分顺序的问题。先将二次积分表成由累次积分限确定区域D如图所示。记的反函数是，则改换积分顺序得13由此知（C），（D）不正确现在的关键是求出的反函数：因此.选（B）.（9）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) (B) (C). (D)【分析】因为所以向量组线性相关，故选（Ａ）．， 至于（Ｂ）、（Ｃ）、（Ｄ）的线性相关性可以用的方法来处理。例如由于，故知线性相关。（10）设矩阵则Ａ与Ｂ(A)合同，且相似 (B) 合同但不相似(C) 不和同，
5、但相似. (D) 既不合同，也不相似[B]【分析】根据迹相等是两矩阵相似的必要条件，易见Ａ和Ｂ肯定不相似。由此可以排除（Ａ）与（Ｃ）。而合同的充要条件是有相同的正、负惯性指数。为此可以用特征值来加以判断。由13，矩阵Ａ的特征值为３，3，0。故二次型的正惯性指数，负惯性指数，而二次型的正惯性指数也为，负惯性指数，所以A、B合同。故应选（B）。二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（11）【分析】（12）曲线上对应于的点处的法线斜率为【分析】先求切线斜率于是因此法线斜率为.（13）设函数,则【分析】用归纳法求解
6、.易归纳证得因此（14）二阶常系数非齐次线性方程的通解为y＝ 【分析】特征方程的根为非齐次项不是特征根，非齐次方程有特解代入方程得13因此，通解为（15）设是二元可微函数,,则【分析】由多元复合函数求导法则得（16）设矩阵，则的秩为 【分析】 因为可以知秩三、解答题：17－24小题，共86分。请将解答写在答题纸指定的位置，解答应写出文字说明、证明的过程或演算的步骤。（17）（本题满分11分）设是区间上的单调、可导函数,且满足,其中是的反函数,求.【分析与求解】 对题设等式两边求导得13注意于是在原式中令得由条件(18)（本题满分10
7、分）设D是位于曲线下方、轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积;（Ⅱ）当为何值时，最小?并求此最小值,【分析与求解】 (Ⅰ)(Ⅱ)(19)（本题满分11分）求微分方程满足初始条件的特解.【分析与求解】 令得.改写成这是一阶线性方程,两边乘得13由初值由(20)（本题满分10分）已知函数具有二阶导数,且,函数由方程所确定.设,求.【分析与求解】 由方程求导得在求导得现由(21)（本题满分11分）设函数在上连续,在内具有二阶导数且存在相等的最大值,,证明:存在,使得.【分析与证明】 下，要证存在已知只须由题设再证（1）由题设若取13
8、若不妨设则（2）由对分别在用罗尔定理使得再对用罗尔定理使得即(22)（本题满分11分）设二元函数计算二重积分
