2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案

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1、2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案速查：一、选择题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）CBCCABDD二、填空题（9）（10）（11）（12）（13）（14）2三、解答题（15）（16）的极小值为，极大值为1；凸区间为，凹区间为，拐点为（17）（18）（19）略（20）（I）；（II）（21）（22）（I）；（II），，（23）（I）的特征值为-1，1，0，对应的特征向量为，，（II）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所

2、选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知当时，与是等价无穷小，则（）（A）k=1,c=4（B）k=1,c=4（C）k=3,c=4（D）k=3,c=4【答案】（C）【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式【难易度】★★★【详解】解析：方法一：当时，，故选择（C）.方法二：当时，故，选（C）.（2）设函数在x=0处可导，且=0，则=（）（A）2（B）（C）（D）0【答案】（B）【考点】导数的概念【难易度】★★【详解】解析：故应选（B）（3）函数的驻点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】（C）【考点

3、】复合函数求导【难易度】★★【详解】解析：方法一：令，易知，且有两个根，图象如图，即有两个驻点，所以有两个驻点，因为函数单调，故有两个驻点，选C.方法二：令有两个不同的根.所以有两个驻点.选（C）.（4）微分方程的特解形式为（）（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【考点】二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】★★★★【详解】解析：对应齐次微分放的特征方程为，解得，于是，分别有特解，，因此原非齐次方程有特解.选（C）.（5）设函数均有二阶连续导数，满足且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（）（A）（B）（C）

4、（D）【答案】（A）【考点】多元函数的极值【难易度】★★★【详解】解析：因为函数在点处取得极小值，且均有二阶连续导数所以，，满足.又因为，，，所以必须有且，又因为，，所以，选（A）.（6）设，，，则的大小关系是（）（A）（B）（C）（D）【答案】（B）【考点】定积分的基本性质【难易度】★★【详解】π/4解析：如图所示，因为时，，因此，故选（B）.（7）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记，则A=（）（A）（B）（C）（D）【答案】（D）【考点】矩阵的初等变换【难易度

5、】★★【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知，，所以，故选（D）（8）设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组Ax=0的一个基础解系，则的基础解系可为（）（A）（B）（C）（D）【答案】（D）【考点】★★★【难易度】矩阵的秩；齐次线性方程组的基础解系【详解】解析：因为是方程组Ax=0的一个基础解系所以即线性相关，故排除（A）（C），又因为，即，所以排除（B），从而应选（D）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）.【答案】【考点】重要极限公式；洛必达法则【难易度】★★

6、【详解】解析：原式=（10）微分方程满足条件的解为=.【答案】【考点】一阶线性微分方程【难易度】★★【详解】解析：由于故,所以（11）曲线的弧长.【答案】【考点】定积分的应用【难易度】★★★【详解】解析：（12）设函数，则.【答案】【考点】反常积分；定积分的换元积分法与分部积分法【难易度】★★【详解】解析：原式（13）设平面区域D由直线圆及y轴所围成，则二重积分.【答案】【考点】二重积分的计算【难易度】★★★【详解】解析：用极坐标变换.，，于是原式（14）二次型，则的正惯性指数为.【答案】2【考点】矩阵的特征值的概

7、念；用配方法化二次型为标准形【难易度】★★★【详解】解析：方法一：的正惯性指数为所对应矩阵正特征值的个数.由于二次型对应矩阵，，故.因此的正惯性指数为2.方法二：用配方法.那么经坐标变换，亦知.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知函数，设试求的取值范围.【考点】洛必达法则、积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】解析：当时，；不符合题意.当时，得即；得即于是当时，.（16）（本题满分11分）设函数由参数方程确

8、定，求的极值和曲线的凹凸区间及拐点.【考点】函数的极值；函数图形的凹凸性、拐点【难易度】★★★【详解】解析：，令得当时，，，.为极小值.当时，，，.为极大值.令得,.当时，，；当时，，.所以曲线的凸区间是，凹区间是，拐点是.（17）（本题满分9分）设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求【考点】函数的极值；多元复合函数求导法；二阶偏导数