杨学枝22道不等式猜想

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1、二十二道不等式猜想杨学枝（福建福州第二十四中学350015）笔者在《数学奥林匹克不等式研究》一书（哈尔滨工业大学出版社，2009年7月）中提出了二十二道不等式猜想，这些猜想是本人多年来在初等不等式研究中产生的.下面，谈谈这二十二道不等式猜想提出的背景，也许对猜想的解决能起到一定的作用.nåaipi=11.设aÎ[0,)(in=1,2,×××,)，a=，则i2nnn22n(åtanaii)×(Õcosa)£×ntanaacos，（1）i=1i=1当且仅当a=aa=×××=时，（1）式取等号.12n见《数学奥林匹克不等式研究》第一章“等价变换法证明不等式

2、”例7.1992年6月笔者在给学生作奥赛讲座时，曾编拟过以下命题1（见《数学奥林匹克不等式研究》第一章“等价变换法证明不等式”例7）设x,,yzRÎ，u为某已知正数，求证2322i）Õ(x+³u)ux()å（2）4u当且仅当x=yz==时，(2)式取等号.252u2ii）Õ(x+ux)³72××()å（3）5u当且仅当x=yz==时，(3)式取等号.5笔者最先考虑用三角代换证明u=1时的如下不等式5212Õ(xx+1)³72××()å（※）5p设x=tana，y=tanb，z=tang，a,bg,Î[0,)，则去证2tana++tanbgtan255

3、£.222(1+tana)(1++tanbg)(1tan)721PDF文件使用"pdfFactory"试用版本创建www.fineprint.cnxyz再由（※）式作置换：x®，y®，z®，即得（2）式.uuu用类似方法可证得x+yzw++3437£（4）2222(1+x)(1+y)(1++wz)(1)10241当且仅当x=y=zw==时，（4）式取等号.7进一步研究后，笔者曾在《中学教研（数学）》（浙江），1992年第11期的“难题征解”栏中提出上述猜想1.n-ai2.设aRiÎ，记Aa=åi，又记xi=，in=1,2,,×××.s12,ss,,×

4、××n是关于i=1Aa-ix,xx,,×××的初等对称式，则有12n23n(n--1)s(ns1)(n--1)s(ns1)123n³³³××׳.（5）123nCCCCnnnn见《数学奥林匹克不等式研究》第一章“等价变换法证明不等式”例14.1988年8月22日，笔者写过一文《一个初等对称式不等式》，于1988年9月12日投《中学数学》（湖北），发表于1989年第2期.文中主要给出了以下命题2（见《数学奥林匹克不等式研究》第一章“等价变换法证明不等式”例14）设a,aa,,×××是n个非负实数，我们把从a,aa,,×××这n个数中，每次不重复地取出1

5、2n12nk(kn=1,2,×××,)个数的乘积之和记为s，则称s,ss,,×××为这n个数的初等对称式.对此，k12k有nk--12nkå(-1)kss1kk=1n2n--22n32nn--412=s-2ss+3ss-4ss+×××+(-³1)0ns（6）1121314n当且仅当a,aa,,×××中所有非零的数都相等时，（6）式取等号.12nnxk为证（6）式，笔者首先证明：若xk>0(kn=1,2,×××,)，且å=1时，有k=11+xknååxk³2xxij，（7）k=11£i<£jn1当且仅当x=x=×××=xn=³(2)时，（7）式取等号.

6、12nn-1由证明中得到启发，提出了猜想2.（6）式也可参见《不等式.理论.方法》一书（王向东、苏化明、王方汉编著，河南教育2PDF文件使用"pdfFactory"试用版本创建www.fineprint.cn出版社，1994年5月出版），P520——522：“十四、杨学枝不等式”.特别当n=3时,有3s-4sss+³90，1123即为Schur不等式：åa(a-b)(ac-³)0.-23.设aRiÎ，(in=1,2,×××,)，且åa=1，则å1-a12a³-nn(1)，（8）1当且仅当a=aa=×××==时，（8）式取等号.12nn见《数学奥林匹克

7、不等式研究》第四章“应用基本不等式证明不等式”例26.2007年7月12日笔者解答了n=3和n=4的情况，分别见《数学奥林匹克不等式研究》第四章“应用基本不等式证明不等式”例26和第七章“其他法证明不等式例子”例27.于是提出了猜想3.+4.设xÎR,in=1,2,×××,,则i222xx12xn2++×××+³nxå1，（9）xxx231当且仅当x=xx=×××=时，（9）式取等号.12n见《数学奥林匹克不等式研究》第三章“放缩法证明不等式”例7.当n=3时是一道陈题，笔者证明了n=3,4,5时，（9）式成立，于是提出了猜想4.当n=4时的证明，见

8、《数学奥林匹克不等式研究》第三章“放缩法证明不等式”例7；当n=5时的证明，见《数学奥林匹克不等式研究》第七