电磁辐射与材料结构

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第一章电磁辐射与材料结构第一节电磁辐射与物质波第二节材料结构基础（1）第三节材料结构基础（2） 第一节电磁辐射与物质波1.1.1电磁辐射与波粒二象性1.1.2电磁波谱1.1.3物质波 1.1.1电磁辐射与波粒二象性2.性质与表述电磁波(部分谱域称为光)，它在空间的传播遵循波动方程；波动性的表现：反射、折射、干涉、衍射、偏振等。主要物理参数有：波长(λ)或波数(σ或K)、频率(v)及相位(φ)等．电磁辐射是指在空间传播的交变电磁场．电磁波在真空中的传播速度(c)称光速，它与波长和频率满足关系（1-1）1.定义 电磁波同时具有微粒性，即电磁波是由光子所组成的光子流．电磁波与物质相互作用，如光电效应等现象是其微粒性的表现．描述电磁波微粒性的主要物理参数有：光子能量(E)和光子动量(p)等。电磁波波动性与微粒性通过下列关系式相联系，即：（1-2）（1-3）h—普朗克常数h=6.626×10-34J•s 1.1.2电磁波谱 电磁光谱光谱区频率范（Hz）空气中波长作用类型γ射线X射线远紫外光紫外光可见光>1020(能量MeV)1020~10161016~10151015~7.5×10147.5×1014~4.0×1014＜10-12m10-3nm~10nm10nm~200nm200nm~400nm400nm~750nm原子核内层电子跃迁电子跃迁电子跃迁价电子跃迁近红外光红外光微波无线电波声波4.0×1014~1.2×10141.2×1014~10111011~108108~10520000~300.75um~2.5um2.5um~1000um0cm~100cm1m~1000m15km~106km振动跃迁振动或转动跃迁转动跃迁原子核旋转跃迁分子运动 1.1.3物质波德布罗意(de.Broglie)于1924年提出了运动实物粒子也具有波粒二象性的假设，即认为运动的实物粒子[指静止质量(m0)不为零的实物微粒，如电子、中子、质子等]也具有波粒二象性，称为物质波或德布罗意波。德布罗意关系式：（1-4）λ称为德布罗意波长；v是粒子运动速度(注意此处不是光速c)；m为相对论质量。（1-5）当v《c时，m≈m01.定义 2.电子的波粒二象性电子衍射实验：1927年，Davisson和Germer应用Ni晶体进行的电子衍射实验证实了电子具有波动性。将一束电子流经过一定的电压加速后通过金属单晶，象单色光通过小圆孔一样发生衍射现象，在感光底片上，得到一系列明暗相同的衍射环纹（如右图所示）。 第二节材料结构基础（1）1.2.1原子能态及其表征1.2.2分子运动与能态1.2.3原子的磁矩和原子核自旋1.2.4固体的能带结构 1.2.1原子能态及其表征1.原子结构与电子量子数原子由原子核和绕核运动的电子组成。一般近似认为核外电子在各自的轨道(称原子轨道)上运动并用“电子(壳)层”形象化描述电子的分布状况。每一确定运动状态的电子相应地具有确定的能量。核外电子在不同状态下所具有的能量数值各不相同，并且其变化是不连续的即量子化的，常用能级(图)形象化地进行表示．能级图是按一定比例以一定高度的水平线代表一定的能量，并把电子各个运动状态的能量(能级)按大小顺序排列(由下至上能量增大)而构成的梯级图形。 核外电子的运动状态由5个量子数表征：n(主量子数)n决定电子运动状态的主要能量(主能级能量，n=1，2，3，4，5，…正整数。l(角量子数)取值为0～n-1的正整数，对应于l=0，1，2．3，…的电子亚层或原子轨道形状分别称为s、p、d、f等层或(原子)轨道．m(磁量子数)取值为0，±1，…，±l．例如p轨道(l=1)，则m=0，±1，表明p亚层有3个不同伸展方向的p轨道(常用pz、px、py分别表示)．s(自旋量子数)表征自旋运动角动量的大小，s=1/2．ms取值为±1/2，表明电子自旋只有两个方向，通常称为正自旋和反自旋(顺时针或反时针方向)ms(自旋磁量子数)ms决定电子自旋角动量在外磁场方向的分量大小，当无外磁场存在时，ms的取值不影响电子的能量大小，即电子正旋与反旋是简并的；反之，则将产生电子自旋能级的分裂． 2．原子能态与原子量子数多电子原子中存在着电子与电子相互作用等复杂情况。用n(主量子数)、S、L、J、MJ等量子数表征原子能态，则原子能级由符号nMLJ表示，称为光谱项。3.原子基态、激发、电离及能级跃迁基态：通常，原子核外电子遵从能量最低原理、包利(Pauli)不相容原理和洪特(Hund)规则，分布于各个能级上，此时原子处于能量最低状态。激发态：原子中的一个或几个电子由基态所处能级跃迁到高能级上，是高能态。激发：原子由基态转变为激发态的过程。电子跃迁或能级跃迁：原子中电子受激向高能级跃迁或由高能级向低能级跃迁。电离：原子中的电子获得足够的能量就会脱离原子核的束缚，产生电离。 1.2.2分子运动与能态（共价键）1．分子的总能量与能级结构一般可近似认为分子总能量(E)由分子中各原子核外电子轨道运动能量(Ee)，原子(或原子团)相对振动能量(Ev)及整个分子绕其质心转动的能量(Er)组成，即（1-10）Ee(简称电子运动能)、Ev(简称分子振动能)及Er(简称分子转动能)均是量子化的，故分子能级由电子(运动)能级、振动能级和转动能级构成。 2．分子轨道与电子能级按分子轨道理论，原子形成分子后，电子不再定域在个别原子内，而是在遍及整个分子范围内运动；每个电子都可看作是在原子核和其余电子共同提供的势场作用下在各自的轨道(称为分子轨道)上运动。分子轨道可近似用原子轨道的线性组合表示。分子轨道可分为成键轨道与反键轨道，成键分子轨道能量较参与组合的原子轨道能量低，而反键分子轨道能量则高于参与组合的原子轨道能量组合的原子轨道能量。 3．分子的振动与振动能级（1）双原子分子的振动可近似用弹簧谐振子(连有两个小球的弹簧体系，作无阻尼同周期振动)模拟．将质量分别为m1与m2的两个原子视为小球，而将连接它们的化学键视为质量可忽略的弹簧．按虎克定律，有：胡克定律 分子振动与弹簧谐振子相比，不同之处在于其振动能量是量子化的．按量子理论的推导，有（1-13）式中：Ev——分子振动能；V——振动量子数，V可取值0，1，2，…；h——普朗克常数． (2)多原子分子的振动多原子分子振动可分为伸缩振动与变形振动两类。伸缩振动是指原子沿键轴方向的周期性(往复)运动；振动时键长变化而键角不变(双原子振动即为伸缩振动)。变形振动又称变角振动或弯曲振动，是指基团键角发生周期性变化而键长不变的振动． (1)伸缩振动:(2)变形振动: 1.2.3原子的磁矩和原子核自旋1.磁矩描述载流线圈或微观粒子磁性的物理量。在原子中，电子因绕原子核运动而具有轨道磁矩；电子还因自旋具有自旋磁矩；原子核、质子、中子以及其他基本粒子也都具有各自的自旋磁矩。这些对研究原子能级的精细结构，磁场中的塞曼效应以及磁共振等有重要意义，也表明各种基本粒子具有复杂的结构。 2.原子核的自旋若原子核存在自旋，产生核磁矩：自旋角动量：I：自旋量子数；h：普朗克常数；核磁子=eh/2Mc；自旋量子数（I）不为零的核都具有磁矩，原子的自旋情况可以用（I）表征：核磁矩：质量数原子序数自旋量子数I偶数偶数0偶数奇数1，2，3….奇数奇数或偶数1/2；3/2；5/2…. 1.2.4固体的能带结构1.能带的形成从STM得到的硅晶体表面的原子结构图量子力学计算表明，晶体中若有N个原子，由于各原子间的相互作用，对应于原来孤立原子的每一个能级,在晶体中变成了N条靠得很近的能级,称为能带。 能带的宽度记作E，数量级为E～eV。若N=1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。一般规律：1.越是外层电子，能带越宽，E越大。2.点阵间距越小，能带越宽，E越大。3.两个能带有可能重叠。 离子间距能带重叠示意图 2.能带中电子的排布晶体中的一个电子只能处在某个能带中的某一能级上。排布原则：（1）服从包利不相容原理（2）服从能量最小原理设孤立原子的一个能级Enl，它最多能容纳2(2l+1)个电子。这一能级分裂成由N条能级组成的能带后，能带最多能容纳2N(2l+1)个电子。 电子排布时，应从最低的能级排起。2ｐ、3ｐ能带，最多容纳6N个电子。例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳2N个电子。 价带空带禁带满带导带3.几个有关能带的名称：排满电子的能带价电子能级分离后形成的能带未排电子的能带，空带也是导带不能排电子的区域未排满电子的价带 它们的导电性能不同，是因为它们的能带结构不同。晶体按导电性能的高低可以分为导体半导体绝缘体4.导体、半导体和绝缘体 从能级图上来看，是因为满带与空带之间有一个较宽的禁带（Eg约3～6eV），共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到高能级（空带）上去。在外电场的作用下，共有化电子很难接受外电场的能量，所以形不成电流。绝缘体绝缘体的能带满带空带Eg 在外电场的作用下，大量共有化电子很易获得能量，集体定向流动形成电流。从能级图上来看，是因为其共有化电子很易从低能级跃迁到高能级上去。导体导带满带价带导带导体的能带 半导体的能带结构与绝缘体的能带结构类似,但是禁带很窄（Eg约0.1～2eV)。半导体半导体的能带Eg满带导带 绝缘体与半导体的击穿当外电场非常强时，绝缘体与半导体的共有化电子还是能越过禁带跃迁到上面的空带中。通常称为半导体与绝缘体被击穿。绝缘体半导体导体 第三节材料结构基础（2）1.3.1晶体结构1.3.2倒易点阵1.3.3晶带 1.3.1晶体结构1.空间点阵的概念晶体：物质点（原子、离子、分子）在空间周期排列构成固体物质。结构基元：在晶体中重复出现的基本单元；在三维空间周期排列；为简便,可抽象为几何点。空间点阵：上述几何点在空间的分布，每个点称为阵点。 TheLatticeandtheBasis晶体结构=空间点阵+基元 电气石卵石 铁铝榴石(almandine) 尖晶石—Spinel 尖晶石—Spinel 金刚石-Diamond 铁铝榴石--almandine 钙铁榴石(翠榴石)-andradite 黄铁矿—FeS2 萤石—CaF2 萤石(CaF2)与闪锌矿(ZnS) 萤石 石盐—NaCl 锆石(Zircon)-ZrSiO4 绿柱石—Be3Al2Si6O18 祖母绿 绿柱石晶体 各种绿柱石晶体 天河石--Amazonite 石膏晶体 长石（Feldspar）晶体和双晶 红锑矿-Kermesite 蓝宝石(Al2O3)晶体 红宝石(Al2O3) 烟晶（SiO2）SmokeyQuartz 石英的晶面条纹 电气石的晶面条纹 刚玉晶体的晶面条纹 柱状刚玉晶体 铬钒钙铝榴石 金刚石晶体的晶面条纹 铁钙铝榴石Grossulars 铁钙铝榴石Grossulars 板状红宝石晶体 2．阵胞与点阵类型在点阵中选择一个由阵点连接而成的几何图形(一般为平行六面体)作为点阵的基本单元来表达晶体结构的周期性，称为阵胞(晶胞)．晶胞有两个要素：⑴晶胞的大小和形状，由晶胞参数规定。⑵晶胞内部各个原子的坐标位置，由原子坐标参数x,y,z规定。 根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属于7种类型，即7个晶系。按照"每个阵点的周围环境相同"的要求，布拉菲用数学方法推导出能够反映空间点阵全部特征的单位平面六面体只有14种，这14种空间点阵也称布拉菲点阵。 布拉菲点阵晶系布拉菲点阵晶系简单三斜三斜(a≠b≠c,α≠β≠γ≠90°)简单六方六方(a1=a2=a3≠c,α=β=90°,γ=120°)简单单斜底心单斜单斜(a≠b≠c,α=γ=90°≠β)简单菱方菱方(a=b=c,α=β=γ=90°)简单正交底心正交体心正交面心正交正交(a≠b≠c,α=β=γ=90°)简单四方体心四方四方(a=b≠c,α=β=γ=90°)简单立方体心立方面心立方立方(a=b=c,α=β=γ=90°)14种布拉菲点阵 三斜：简单三斜单斜：简单单斜底心单斜 正交：简单正交，底心正交，体心正交，面心正交 菱方：简单菱方六方：简单六方 四方：简单四方体心四方 立方：简单立方，体心立方，面心立方 （1）堆积方式等径球体在平面上的紧密排列： 第二层球体落于B或C孔隙上 第三层位于第一层正上方第三层位于一二层间隙六方最紧密堆积面心立方最紧密堆积第三层球体叠加时，有两种完全不同的堆叠方式： 1）六方紧密堆积：按ABABAB……的顺序堆积，球体在空间的分布与空间格子中的六方格子相对应。例：金属锇Os、铱Ir…… 密排六方结构：（0001）面 2）面心立方紧密堆积：按ABCABC……的顺序堆积，球体在空间的分布与空间格子中的立方格子相对应。例：Cu、Au、Pt 面心立方紧密堆积： 7个晶系及其所属的布拉菲点阵晶系点阵常数布拉菲点阵点阵符号晶格内结点数结点坐标立方a=b=cα=β=γ=90º简单立方体心立方面心立方PIF124000000,1/21/21/2000,1/21/20,1/201/2,01/21/2正方(四方)a=b≠cα=β=γ=90º简单正方体心正方PI12000000,1/21/21/2斜方a≠b≠c简单斜方体心斜方底心斜方面心斜方PICF1224000000,1/21/21/2000,1/21/20000,1/21/20,1/201/2,01/21/2简单晶胞：晶胞内仅含1个结点；复杂晶胞：晶胞内含1个以上结点。 7个晶系及其所属的布拉菲点阵（续)晶系点阵常数布拉菲点阵点阵符号晶格内结点数结点坐标菱方(三方)a=b=cα=β=γ≠90º简单菱方R1000六方a=b≠cα=β=90ºγ=120º简单六方P1000单斜a≠b≠cα=γ=90º≠β简单单斜底心单斜PC12000000,1/21/20三斜a≠b≠cα≠β≠γ≠90º简单三斜P1000 3.空间点阵和晶胞的关系同一空间点阵可因选取晶胞的方式不同而得出不同的晶胞。体心立方面心立方简单菱方简单三斜 4.晶体结构与空间点阵晶体结构=空间点阵+结构基元。注意:晶体中结构基元的划分应满足每个阵点上结构基元(物质组成及其在基元内的分布)相同的原则。每一种点阵因结构基元不同可表示多种晶体结构，即晶体结构的种类是无限的。 空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点的周围环境相同，它只能有14中类型晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此，实际存在的晶体结构是无限的。 为了用数字具体表示晶体中点、线、面的相对位置关系，就在晶体中引入一个坐标系统，这一过程称为晶体定向。具体地说，晶体定向就是在晶体中确定坐标轴（称晶轴）及轴单位或轴率（轴单位之比）。5.晶体定向 1）确定坐标轴轴率：轴单位之比a：b：c2）确定轴单位或轴率轴单位：X，Y，Z轴所在行列的结点间距a、b、c，轴角：坐标轴之间的夹角、、6.坐标系的建立（1）三轴定向五个晶系（立方、四方、斜方、单斜、三斜）Z（c）轴Y（b）轴X（a）轴O Z（c）轴Y（b）轴X（a）轴OU（d）轴（2）四轴定向Z轴，Y轴同三轴定向X轴，水平朝前偏左30°U轴，水平朝后偏左30°=120°不同晶系的晶体，坐标轴的选择方法不同，六方、三方晶系常采用四轴定向。 7.晶向指数与晶面指数为了能明确的、定量的表示晶格中任意两原子间连线的方向或任意一个原子面。为了能方便地使用数学方法处理晶体学问题。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。 （1）晶面指数1)晶面晶体中空间点阵可以从各个方向被划分成许多组平行且等距离的平面点阵，这些点阵所处的平面称为晶面。2)晶面指数结晶学中常用符号（hkl）来表示晶体中一组平行晶面，称为晶面指数（或密氏指数）。 确定密氏指数的步骤：在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值；取各截距的倒数；将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为(hkl)。(若某截距为负值，则在相应指数上加“-”号) 例：晶面ABC在X、Y、Z轴的截距分别为3a、2b、6c，求其晶面指数。 晶面指数的例子正交点阵中一些晶面的面指数 晶面间距和晶面上原子分布完全相同的晶面属于一晶面族，用{hkl}表示。3）晶面族在立方晶系中:（100）（100）（010）（010）（001）（001）{100}晶面族 4）晶面间距一族平行晶面中最邻近的两个晶面的距离，称为晶面间距。通常，低指数的面间距较大，而高指数的晶面间距则较小晶面间距愈大，该晶面上的原子排列愈密集；晶面间距愈小，该晶面上的原子排列愈稀疏。 位错 位错的运动 滑移面滑移台阶ττ 立方晶系：正方晶系：正交晶系：六方晶系：晶面间距dhkl与点阵常数a、b、c、、、有关，其公式如下： 单斜三斜晶面夹角公式极其复杂，对于等轴晶体，有： 例1某斜方晶体的a=7.417Å,b=4.945Å,c=2.547Å,计算d110和d200。 d110=4.11Å,d200=3.71Å例1某斜方晶体的a=7.417Å,b=4.945Å,c=2.547Å,计算d110和d200。 （2）晶向指数1）晶向2）晶向指数点阵中穿过若干结点的直线方向，称为晶向。密氏指数：[uvw] 确定晶向指数的步骤：以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴x,y,z,以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。过原点O作一直线OP，使其平行于待定晶向。在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P点的3个坐标值。将这3个坐标值化为最小整数u，v，w，加以方括号，[uvw]即为待定晶向的晶向指数。(坐标值负时，则在相应指数上加“-”号） 晶向指数的例子正交晶系一些重要晶向的晶向指数 3）晶向族在晶体中原子密度相同的晶向属于一个晶向族，记为。例：在立方晶系中画出<111>晶向族的各晶向。 （3）六方晶系的晶面指数和晶向指数1）密氏指数三轴定向时，六方晶系晶胞6个柱面的晶面指数（密氏指数）：（100）（010）（110）（100）（010）（110）（1010）（0110）（1100）（1010）（0110）（1100）四轴定向时，晶面指数用密氏指数（hkil）表示，且，六方晶系晶胞6个柱面的晶面指数：i=-（h+k） 在六方晶系中，如三轴定向的密氏指数为[UVW]，其四轴定向的密氏指数[uvtw]为：晶向指数： 六方晶系的晶面指数和晶向指数 六方晶系一些晶面的指数 （4）晶向与晶面的关系晶向与晶面的关系：在立方晶系中，同指数的晶面与晶向相互垂直，如[100]⊥（100）。注：并不是所有晶系都满足这一关系。 5.干涉指数干涉指数是对晶面空间方位与晶面间距的标识．干涉指数与晶面指数的关系可表述为：若将(hkl)晶面间距记为dhkl，则晶面间距为dhkl/n(n为正整数)的晶面干涉指数为(nhnknl)，记为(HKL)(dhkl/n则记为dhkl)．例如晶面间距分别为d110/2，d110/3的晶面，其干涉指数分别为(220)和(330)． 二.倒易点阵倒易点阵是由晶体点阵按照一定的对应关系建立的空间（几何）点（的）阵（列），此对应关系可称为倒易变换。定义：对于一个由点阵基矢定义的点阵（可称正点阵），若有另一个由点阵基失定义的点阵，满足（1-41）则称由定义的点阵为定义的点阵的倒易点阵。定义式（1-14）中之常数K，多数情况下取K=1，有时取（入射波长）或K=。下文中不特别注明时，认为K=1.式（1-41）表达了倒易点阵与正点阵的对应关系，将其分项写出，有（1-42） 图2-5与正点阵的关系 由倒易点阵定义式中与的位置对称可知：正点阵与倒易点阵互为倒易，即满足式（1-41）之定义的点阵是其倒易点阵的倒易点阵。2.倒易点阵基失表达式由式（1-42）可导出由表达的关系式，即（1-43）式中：V——阵胞体积，按矢量混合积几何意义，倒易点阵参数及由正点阵参数表达为 按正点阵与倒易点阵互为倒易，类比式（1-43），可直接得出由倒易点阵基失表达正点阵基失的关系为 将其代入式（1-44），则有式（1-43）与式（1-44）为对各晶普遍适用的表达式，结合不同晶系特点可得到进一步简化。以立方晶系为例：立方晶系有 z 3.倒易矢量及基本性质在倒易点阵中建立坐标系：以任一倒易阵点为坐标原点（以下称倒易原点，一般取其与正点阵坐标原点重合），以分别为三坐标轴单位矢量。由倒易原点向任意倒易阵点（以下常简称为倒易点）的连接矢量称为倒易矢量，用表示。若终点（倒易点）坐标为（H，K，L）（此时可将记作），则在倒易点阵中的坐标表达式为的基本性质为：垂直于正点阵中相应的（HKL）晶面，其长度等于（HKL）之晶面间距的倒数。 又，为OA在方向上的投影，即分项展开并按式（1-42），得即以下就与及其性质有关的两个问题进行说明。 （1）倒易阵点与正点阵（HKL）晶面的对应关系的基本性质确切表达了其与（HKL）的一一对应关系，即一个与一组（HKL）对应；的方向与大小表达了（HKL）在正点阵中的方位与晶面间距；反之，（HKL）决定了的方位与大小。的基本性质也建立了作为终点的倒易（阵）点与（HKL）的一一对应关系：正点阵中每一（HKL）对应着一个倒易点，该倒易点在倒易点阵中的坐标（可称阵点指数）即为HKL；反之，一个点阵指数为HKL的倒易点对应正点阵中一组（HKL），（HKL）方位与晶面间距由该倒易点相应的决定。图1-15为晶面与倒易矢量（倒易点）对应关系示例。 （2）倒易矢量的建立若已知晶体点阵参数，即由式（1-44）可求得其相应倒易点阵参数，从而建立其倒易点阵。也可依据与（HKL）的对应关系，通过作图法建立倒易点阵。即在正点阵中取若干不同方位的（HKL），并依据其作出对应的，各终点的阵列即为倒易点阵。4.晶面间距与晶面夹角公式（1）晶面间距公式晶面间距是材料衍射分析等工作中用以表达晶体结构的重要参数。本处作为倒易点阵应用的典型实例导出晶面间距与点阵参数的关系式。按式（1-48）；按矢量点积性质，有 （1-50）(1-49)为晶面间距的倒易点阵参数表达式，适用于各个晶系．按各晶系倒易点阵参数与正点阵参数的关系进行换算，即可得到不同晶系各自的晶面间距与点阵参数关系式．以立方晶系为例，由式(1-46)，有代入式（1-49），得 （1-51）式(1-50)即为立方系晶面间距公式．由此式可知，dHKL2不仅与点阵常数以有关，而且反比于晶面干涉指数平方和．其余晶系之晶面间距公式可据式(1-49)自行推算或查阅资料获得．(2)晶面夹角公式由于两晶面(H1K1L1)与(H2K2L2)之夹角()可用两晶面法线夹角表示，也即可用两晶面对应之倒易矢量夹角表示，故有 式(1-51)为晶面夹角的倒易点阵参数表达式，适用于各个晶系．根据各晶系的特点将倒点阵参数与正点阵参数换算，即可得到不同晶系各自的晶面夹角与点阵参数关系式．仍以立方晶系为例，将式(1-46)及代入式(1-51)，得(1-52)式(1-52)即为立方系晶面夹角公式． 三、晶带在晶体结构或空间点阵中，与某一取向平行的所有晶面均属于同一个晶带。同一晶带中所有晶面的交线互相平行，其中通过坐标原点的那条直线称为晶带轴。晶带轴的晶向指数即为该晶带的指数。属此晶带的晶面称为晶带面。 2.晶带定理由于同一[uvw]晶带各(HKL)晶面中法线与晶带轴垂直，也即各(HKL)面对应的倒易矢量rHKL*与晶带轴垂直，故有(1-53)即凡是属于[uvw]晶带的晶面,它们的晶面指数(HKL)都必须符合上式的条件。我们把这个关系式叫作晶带定律。 正空间倒空间图2-3晶带正空间与倒空间对应关系图 显然，同一[uvw]晶带中各(HKL)面对应的倒易(阵)点(及相应的倒易矢量)位于过倒易原点O*的一个倒易(阵点)平面内．反之，也可以说过O*的每一个倒易(阵点)．平面上各倒易点(或倒易矢量)对应的(正点阵中的)各(HKL)晶面属于同一晶带，晶带轴[uvw]的方向即为此倒易平面的法线方向，此平面称为(uvw)0*零层倒易平面．在倒易点阵中，以[uvw]为法线方向的一系列相互平行的倒易平面中，(uvw)0*即为其中过倒易原点的那一个倒易平面． 若已知[uvw]晶带中任意两晶面(H1KlLl)与(H2K2L2)，则可按晶带定理求晶带轴指数．按式(1-53)．有(1-54) 晶带定律的应用在实际晶体中，立方晶系最为普遍，因此晶带定理有非常广泛的应用。可以判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂直；可以判断某一晶向是否在某一晶面上（或平行于该晶面）；若已知晶带轴，可以判断哪些晶面属于该晶带；若已知两个晶带面为（h1k1l1)和(h2k2l2),则可用晶带定律求出晶带轴；已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；已知一个晶面及其面上的任一晶向，可求出在该面上与该晶向垂直的另一晶向；已知一晶面及其在面上的任一晶向，可求出过该晶向且垂直于该晶面的另一晶面。 晶带定律的应用：①由晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）求晶带符号根据晶带定律建立方程组：h1u＋k1v＋l1w=0h2u＋k2v＋l2w=0解出：②由晶向[u1v1w1]和[u2v2w2]求晶面符号建立方程组：hu1＋kv1＋lw1=0hu2＋kv2＋lw2=0得：③由同一晶带的两个晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）求此晶带上另一晶面指数，由：h1u＋k1v＋l1w=0h2u＋k2v＋l2w=0有：（h1＋h2）u＋（k1＋k2）v＋（l1＋l2）w=0即：（h1＋h2）、（k1＋k2）、（l1＋l2）为此晶带上一晶面的晶面指数。