专题2.3 函数的单调性与最值（教学案）-2014年高考数学（理）一轮复习精品资料（原卷版）

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1、【2014考纲解读】1．函数单调性的定义；2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用【重点知识梳理】一、函数的单调性1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，

2、首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．【注意】单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．二、函数单调性的判断对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．例1．判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．三、求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复

3、合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!10联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．例2．函数f(x)＝

4、x－2

5、x的单调减区间是(　　)A．[1,2]B．[－1,0]C．[0,2]D．[2

6、，＋∞)四、单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用．例3．(1)函数f(x)＝在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．(2)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为，则a＝__________.【高频考点突破】考点一　函数单调性的判断及应用　　例1　讨论f(x)＝ax＋a－x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上的单调性．【点评】用定义证明函数的单调性，要严格按照定义的步骤来进行，其中关键的

7、一步是对f(x2)－f(x1)作变形，变形的目的是能够判断f(x2)－f(x1)的符号，常用的变形方法有：(1)多项式因式分解或配方；(2)分式通分后分子、分母因式分解；(3)根式有理化；(4)幂、指数、对数要运用各自的运算法则．【归纳总结】①函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的．②判断函数单调性的方法有：定义法，图象法，导数法，利用已知函数的单调性．证明函数的单调性的方法有：定义法，导数法．【变式探究1】证明函数f(x)＝2x－在(－∞，0)上是增函数．

8、【变式探究2】讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性。考点二　求函数的单调区间　　例2、求出下列函数的单调区间：(1)f(x)＝

9、x2－4x＋3

10、；(2)f(x)＝log2(x2－1)．【点评】(1)学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!10联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898是利用函数图象求单调区间，一般来说，用定义不易判断单调性，而图象又较易作出时，可以用图象法求单调区间；(2)是

11、复合函数的单调性问题，将一个函数“拆分”成几个简单函数，利用复合函数单调性的判断规则判断．【归纳总结】①复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．②区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．如函数y＝x2的单调递增区间是(0，＋∞)，在(0，2)上递增，但不能说区间(0，2)是该函数的递增区间．③若函数在两个不同的区间上单调性相同，则

12、这两个区间要分开写，不能