电动力学二四镜象法

《电动力学二四镜象法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四节镜象法求解静电场1目的：学习一种求解静电场的特殊方法--镜象法（简洁明了）主要内容：一、相关内容回顾二、镜象法的基本思想三、镜象法应用举例四、总结与讨论2唯一性定理给出静电场可以唯一求解的条件唯一性定理：在可均匀分区的区域V内给定自由电荷分布，区域V内的电场由V的边界S上的电势或者电势法向导数唯一地确定。一、相关内容回顾3如果V内含有导体区域，将导体表面视为边界面。如果不是给定导体边界上的电势或者电势法向导数，而是给定每个导体上的总电荷，唯一性定理同样成立。这是由电荷与电场之间的制约关系决定的。4分离变量法：适用于所考虑的区域内没有自由电荷分布的情况，求解拉普拉斯方程。

2、分离变量法（）镜象法（？）格林函数法（？）多极矩展开法（？）静电学的基本问题是求满足给定边界条件的泊松方程的解。主要方法有四种。5一种重要的特殊情形是：区域内只有一个或者几个点电荷。区域的边界是导体或者介质。这一个或者几个电荷要在导体界面产生感应电荷，或者在介质表面产生束缚。二、镜象法求解静电场的基本思想6上述特殊情形的泊松方程边值问题，可以采用一种比较简洁的特殊方法来求解。这种方法就是镜象法。镜象法的基本思想就是：在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷，但不改变求解区域的边值关系和边界条件。或者说，只要不改变求解区域的电荷分布、边值关系和边界条件，象电荷可以取代感应电荷，象电荷在所

3、考虑区域产生的电场就是感应电荷产生的电场。7三、镜象法应用举例例1接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，求空间中的电场。8解电荷：一个点电荷界面：接地无穷大导体区域：上半空间（下半空间电势为零）已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。9上半空间的电势的特征：导体表面是等势面电场线垂直于导体表面点电荷Q使导体表面产生异号的感应电荷Q。整个电场是由Q和Q共同产生的。电荷分布和电场分布：10设想在导体板下方与电荷Q对称的位置上放一个假想电荷Q’=Q，然后把导体板抽去。这样，没有改变所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）。Q假想电荷Q’与给定电荷Q激发的总电

4、场如图所示。由对称性看出，在原导体板平面上，电场线处处与它正交，因而满足边界条件。11导体板上部空间的电场可以看作原电荷与镜象电荷共同激发的电场。场点P的电势导体板上的感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q’代替。12选Q到导体板上的投影点O作为坐标原点，设Q到导体板距离为a，有可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是一种求解泊松方程的简洁方法。13例2真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心为a（a>R0）处有一点电荷Q，求空间各点的电势（如图）。14解电荷：一个点电荷界面：导体球面区域：球面外区域已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。15点电荷Q使导体表面产生异号

5、的感应电荷Q’。电荷分布和电场分布：整个电场是由Q和Q’共同产生的。16在球内区域（所考虑区域之外）引入象电荷，取代球面上的感应电荷，不改变体系方程。球面外区域电势的特征：导体表面是等势面电场线垂直于导体表面预计电场线如图所示17不改变边值关系和边界条件的要求为由对称性，Q’应在OQ连线上。考虑球面上任一点P（如图）18因此对球面上任一点，应有只要选Q’的位置使OPQ~OQ’P，则19假想电荷Q’的大小为由两三角形相似的条件可得假想电荷Q’的位置20球外任一点P（如图）的电势为21根据高斯定理，收敛于球面的电通量为Q’。Q’为球面的总感应电荷，它是受电荷Q的电场的吸引而从接地处

6、传至导体球上的。物理结果讨论：然而

7、Q’

8、

9、号，只要Q距球面足够近，就受到导体的吸引力。原因：虽然整个导体的电荷与Q同号，但在靠近Q的球面部分出现异号电荷。从而相互吸引起主要作用。吸引力起主要作用（数值大于第一项）27根据唯一性定理要求的条件求解电磁场泊松方程边值问题；在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷，保持求解区域电荷分布不变；引入镜象电荷，不改变求解区域边值关系和边界条件。1、镜象法的基本要领四、总结与讨论28两种方法都是根据边值关系和边界条件进行求解；可解的条件都是唯一性定理所要求的分区均匀